19.证明：

=4 x²-12x+9+9 y²+30y+25+1

=(2x-3) ²+(3y+5) ²+1

≥1.

18.证明：

=8(82n-7n)+8×7n+7n+2

=8(82n-7n)+7n(49+8)

=8(82n-7n)+577n

是57的倍数.

17．证明： 原式=31998(32－4×3+10)= 31998×7，

∴　 能被7整除。

16. 解：原式＝(x－2y)(5x+4y)

　 x　　 　　－2y

5x　　 　　4y

－6xy

二证明题

15．解：原式＝(x+2)(3x+5)

提示：把二次项3x²分解成x与3x(二次项一般都只分解成正因数)，常数项10可分成1×10＝－1×(－10)＝2×5＝－2×(－5)，其中只有11x=x×5+3x×2。

说明：十字相乘法是二次三项式分解因式的一种常用方法，特别是当二次项的系数不是1的时候，给我们的分解带来麻烦，这里主要就是讲讲这类情况。分解时，把二次项、常数项分别分解成两个数的积，并使它们交叉相乘的积的各等于一次项。需要注意的是:⑴如果常数项是正数，则应把它分解成两个同号的因数，若一次项是正，则同正号；若一次项是负，则应同负号。⑵如果常数项是负数，则应把它分解成两个异号的因数，交叉相乘所得的积中，绝对值大的与一次项的符号相同(若一次项是正，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是正号；若一次项是负，则交叉相乘所得的积中，绝对值大的就是负号)。

　　　ax　　　 c

二次项　　　　　常数项

　　　　　 bx　　　 d

　 adx+bcx=(ad+bc)x　 一次项

ab x²+(ad+bc)x+cd=(ax+c)(bx+d)

14.　 解　原式=(x+2)(x+1)(x+4)(x+3)-120

　　　　 =(x+2)(x+3)(x+1)(x+4)-120

　　　　 =( x²+5x+6)( x²+5x+4)-120

令　x²+5x=m, 代入上式,得

原式=(m+6)(m+4)-120=m²+10m-96

=(m+16)(m-6)=( x²+5x+16)( x²+5x-6)=( x²+5x+16)(x+6)(x-1)

提示：把x²+5x看成一个整体。

13.解：原式=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+1

=( x²+5x+4)( x²+5x+6)+1

令x²+5x=a,则 原式=(a+4)(a+6)+1

=a²+10a+25

=(a+5)²

=(x2+5x+5)

提示：把x²+5x看成一个整体。

12．解：原式=3(x²+x)-2

=3(x²+x+-)-2　 *

=3(x+)²-3×-2

=3(x+)²-

=3[(x+)²-]

　　 =3(x++)(x+-)

=3(x+2)(x-)

=(x+2)(3x-1)

提示：*这步很重要，根据完全平方式的结构配出来的。对于任意二次三项式ax2+bx+c(a≠0)可配成a(x+)²+.

11.解：原式=x²-2x+1-1-8　 *

=(x-1)²-3²

=(x-1+3)(x-1-3)

=(x+2)(x-4)

提示：本题用了配方法，将x²-2x加上1个“1”又减了一个“1”，从而构成完全平方式。

10.解：原式=(a²+b² +2ab)+2bc+2ac+c²

=(a+b)²+2(a+b)c+c²　

=(a+b+c)²

提示：*将(a+b)视为 1个整体。