1、 关于整除的若干性质

性质1：如果a|b，b|c，那么a|c。如2|8，8|24，2|24。

性质2：k是任意整数，若b|a，则b|ka。如2|6，5是整数且5×6=30，则2|30。

性质3：如果a|b，a|c，那么a|(b±c)。如2|6，2|8，必有2|(6±8)。

性质4：如果m|ab，(m，a)=1，那么m|b。如3|9×7，(3，7)=1，必有3|9。

注：我们用符号(m，a)表示m，a两数的最大公约数。如果(m，a)=1，那么称m，a两数互质。[a，b]表示a，b两数的最小公倍数。

性质5：如果a|c，b|c，且(a，b)=1，那么ab|c。如3|21，7|21，且(3，7)=1。必有3×7=21|21

性质6：如果a|m，b|m，那么[a，b]|m。

例1 如果n是自然数，n³+11n必能被6整除。

[分析]n³+11n是关于n的多项式，可通过多项式的变形，达到其被6整除的目的。

[解]n³+11n= n³－n+12n = n(n²－1)+12n = (n－1)n(n+1)+12n

　因为(n－1)，n，(n+1)是三个连续的自然数，所以必有一个是偶数，且必有一个是3的倍数，(n－1)n(n+1)可被2与3的乘积6整除，而12n显然可被6整除。所以n³+11n必能被6整除。

[评注]此题中，我们同时证明了三个连续自然数的乘积必能被6整除。

4、(本题10分)如图:在大小为4×4的正方形方格中， △ABC的顶点A、B、C在单位正方形的顶点上，请在图中画一个△A₁B₁C₁ ，使△A₁B₁C₁∽△ABC(相似比不为1)，且点A₁ 、B₁ 、C₁ 都在单位正方形的顶点上。

2．(本题10分)将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点．线都在同一平面内，回答下列问题：

(第2题)

??(1)图中共有多少个三角形？把它们一一写出来；

??(2)图中有相似(不包括全等)三角形吗？如果有，就把它们一一写出来．

??

　3．(本题10分)如图，已知正方形ABCD中，E是BC的中点，F在CD上，且DF=3CF．

求证：△ABE∽△ECF．

1、(本题10分)一位同学要测一建筑物高，身边未带任何工具，但知道自己的身高为1.65米，鞋长为0.27米。

　　 (1)如何通过影子的度量达到目的？(可用文字、草图以及字母符号辅助说明)

　　 (2)若建筑物的影子长为55米，自己的影子长为1.1米，此建筑物大约有多高？(保留两个有效数字)

8、如图三角形ABC中BC=a，若D₁E₁分别是BC、AC的中点，则D₁E₁=a；若D₂E₂分别是D₁B、E₁C的中点，则D₂E₂=(a+a)=a；若D₃E₃分别是D₂B、E₂C的中点，则D₃E₃=(=a……若DnEn分别 是Dn-1En-1的中点，则DnEn=　　 　。

7．雨后初晴，一学生在运动场上玩耍，从他前面2m远一块小积水处，他看到了旗杆顶端的倒影，如果旗标底端到积水处的距离为40m，该生的眼部高度是1.5m，那么旗杆的高度是______m．

6．如图8，测量小玻璃管口径的量是ABC上，AB的长为10毫米，AC被分为60等份，如果小管口DE正好对着量具上30份处(DE∥AB)，那么小管口径DE的长是______毫米．

(图8)

5．(02鄂州市)已知：如图7，△ABC中，P是边AB上的一点，连结CP.　 要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是　　　　 (只需写出一个即可)

4、如图6，DE∥BC且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，则AE的长为　　　　　 ；若BC＝10，则DE的长为　　　　　　 。

3、若，，则＝_______。

图6　　　　　　　　　　　　　 图7