3．所有的等腰三角形都相似；　　　　　　　　　 4．所有的直角三角形都相似；

1．所有的三角形都相似；　　　　　　　　　　　 2．所有的梯形都相似；

例1：已知线段a＝15厘米，b＝20厘米，c＝75毫米，d＝0.1米，问这四条线段成比例吗？

说明：在线段求比时，线段的长度单位要统一；要同单位下，两线段的比值是无单位的正数。

例2：已知线段a＝7，b＝4，求线段a+b与a－b的比例中项。

说明：

(1)此处是求线段的比例中项，所以只能取正值，但实际上，比例中项并不一定都是指两条线段，两个数、两个字母同样也可以求出它们的比例中项，并且比例中项也可为负。

(2)所以在求比例中项时，一定要看清是求线段的比例中项，还是两个数的比例中项，它们的结果不一样的。

例3：已知，且3x+4z－2y＝40，求x、y、z的值。

说明：设k法是有关比例式计算题中常用的方法，应学会、掌握。

例题4：判断正误，并简要说出理由

(1)两个矩形一定相似。　　　　 ；

(2)两个菱形都有一个角是40⁰，那么这两个菱形相似　　

(3)两个正方形一定相似。　　　　 　

(4)有一个角相等的两个等腰梯形相似。 　　　　

例题5：如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，求矩形ABCD的面积

说明：运用相似多边形特征解题，应注意确定对应边、对应角，这里的AB是大矩形的宽，那么它只能中小矩形的长，大矩形宽与长的比等于小矩形宽与长的比。

例题6：(1)、如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似形三角形有　　 对，分别是　　　　　　　　 。

　　　　 (2)、如果AD＝5，DB＝3，FC＝2，则△ADE与△ABC的相似比是　　 ；

如何求出BF的长？

例题7：如图，在四边形ABCD中，E是对角线BD上的一点，EF∥AB，EM∥CD，

求的值。

例题8：如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，则图中有　　 对相似三角形，

当△　　 ∽△　　 时，则有；

要 AC·CE＝CB·CD，则应找哪两个三角形相似？

解：

例题9：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作

CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，说明：BP²＝PE·PF。

解：

说明：当成比例的四条线段在同一直线上时，可用相等的线段代换的方法来分散开来，后再找相似三角形

例10．如图，在△ABC中，DE∥FG∥BC，并将△ABC分成三块S₁、S₂、S₃，

若S₁︰S₂︰S₃＝1︰4︰10，BC＝15，求DE、FG的长

例11如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E，EC与AD相交于点F。

　　 (1)说明：△ABC∽△FCD

　　 (2)若S_△FCD＝5，BC＝10，求DE的长。

三　 [同步练习]

练习一

3．直角三角形中的比例线段是这部分内容的一个重点．如图，

由Rt△ACD∽Rt△CBD∽Rt△ABC，得

AC²＝AD·AB，

BC²=BD·AB，

　　　　 CD²=AD·DB．

熟记这三个等式有时会给解题带来很大的方便，

尤其解几何综合题更明显，但须注意，在使用它们时，一定要证明这三个直角三角形相似．

5．相似三角形性质的作用

　综合使用相似三角形的性质与相似三角形的识别可以解决以下问题：

　(1)可用来证明线段成比例、角相等、线段相等、垂直、平行等；

　(2)可用来计算周长、边长、角度等；

　(3)用来证明线段的平方比、图形面积的比等。

注意：

(1)求三角形某边长，可根据相似三角形的性质，得到对应线段成比例，再利用方程的思想方法，解出所求线段．　　　

(2)有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点：一、是三角形面积公式：S＝ 底×高，这里特别注意图形中“同高”这个隐含条件，二、是相似三角形的面积比等于相似比的平方。

4.相似三角形的性质　

　(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

　(2)相似三角形对应　　　 的比、对应　　　 的比、对应角　　　　　　 的比都等于相似比．

　(3)相似三角形　　　　　　 的比等于相似比．

以上各条可以概括为：相似三角形的对应　　　　　　 之比等于相似比．

　(4)相似三角形面积之比等于　　　　　　　　　 ．

3．相似三角形的识别方法的选择：

(1)已知有一角相等时，可选择方法　　　 和方法　　　　　　 ；

(2)已知有二边对应成比例时，可选择方法　　　 和方法　　　 ；

(3)若有平行条件时，可考虑方法　　　　　　 ；

(4)有直角三角形时，可考虑方法　　　　　　

8．相似三角形的识别方法：

　 (1)定义法：　　　　　　　　　　　　 的两个三角形相似。

(2)平行线法：　　　　　　　　　　　　 的直线和其它两边(或两边的延长线)　　　 ，所构成的三角形与原三角形相似。

注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)

　 ∵ED∥BC，∴△ABC∽△AED

(3)　　　　　　　　　 的两个三角形相似。

(4)　　　　　　　　　　　　 的两个三角形相似。

(5)　　　　　　　　　　　　 的两个三角形相似。

(6)　　　　　　　 对应成比例的两个直角三角形相似。

(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。

7．相似三角形：

　定义：　 　　　　　　　　　　　的三角形叫相似三角形。如△ABC与△A^/B^/C^/相似，

记作:　　　　　　　　　 。

　 相似比：相似三角形　　　　　　 的比叫相似比，若△ABC∽△A^/B^/C^/，相似比为k，则△A^/B^/C^/与△ABC的相似比是　　　　　　 。即相似比是有顺序的。

6．识别两个多边形是否相似的方法：如果两个多边形　　　　　　　　　　　　　　　 ，那么这两个多边形相似