2．联想与解题

　例5 a，b为两个不相等且都不为零的数，同时有

a²+pa+q=0，b²+pb+q=0，

　分析与解 由已知条件，联想到方程根的定义，a，b是方程x²+px+q=0的两个根，由a，b不为零，有

　例6 如果(z-x)²-4(x-y)(y-z)=0，求证：

x+z=2y．

　分析与解 (1)展开原式有

z²-2xz+x²-4(xy-y²-xz+yz)=0，

　合并、配方得

(x+z)²-4y(x+z)+4y²=0，

　即 (x+z-2y)²=0，

　所以 x+z＝2y．

　(2)如果看已知条件：

(z-x)²-4(x-y)(y-z)=0，

　很像二次方程根的判别式b²-4ac的形式，因此，可联想到方程

(x-y)t²+(z-x)t+(y-z)＝0(x-y≠0)有二相等实根．由

(x-y)+(z-x)+(y-z)=0

　可知1是以上方程的根，再由根与系数关系知

　所以 x+z=2y．

　当x=y=0，即x=y时，有x=y=z，所以

x+z=2y．

　例7 化简

　分析与解 这是一个根式的化简问题，分子、分母大同小异，自然联想到应用因式分解，使分子、分母具有公因式，化简就很容易了．

　例8 图2-116是我国古代数学家赵爽证明勾股定理的“弦图”，其中“弦实”是弦平方的面积，“弦图”以弦为边作正方形(如正方形ABCD)，然后在“弦图”内部作四个直角三角形(如△AHB，△BEC，△CDF，△DAG)．设a，b，c为四个直角三角形的勾、股、弦，则根据“出入相补原理”就有

　即 c²=2ab+b²-2ab+a²,

　即 c²=a²+b².

　这是中国古代数学家独立于西方毕达哥拉斯和欧几里得发明的证法．后人沿用“出入相补原理”，也就是割补原理解决了许多数学问题，也创造了“勾股定理”的许多新证法．事实上每位初中同学，学了勾股定理，只要用心思考，一定会用割补法想出更新的证明勾股定理的方法．下面的几例，便是同学们提出的割补图．

　设a，b，c分别为直角三角形的勾、股、弦．

　(1)在图 2-117中，有

a²+b²＝(S₃+S₅)+(S₁+S₂+S₄)

　＝(S₄+S₅)+(S₁+S₂+S₃)

＝2S₂+S₁+S₃=c₂．

　(2)在图 2-118中，有

a²+b²＝(S₃+S₄)+(S₁+S₂)

　　　 =S₁+S₃+S₄+S＇₂+S₅=c₂

　(3)在图2-119中，有

a²+b²＝(S₂+S₅)+(S₁+S₃+S₄)

　　=S₁+S₂+S₃+S₄+S₅＝c₂．

　(4)在图2-120中，有

　a²+b²=(S＇₂+S₅)+(S₁+S₃+S₄)

　=(S＇₂+S₄)+(S₁+S₃+S₅)

＝S₁+S₂+S₃+S₅=c₂．

练习二十

1．类比与发现

　例1 已知：△ABC中，∠C= 90°，AC=BC=1，BD是AC边上的中线，E点在AB边上，且ED⊥BD．求△DEA的面积(图2-113)．

　解 引CF⊥BA于F，由于BC= AC，所以CF是底边AB上的中线．因为H为△ABC的重心，所以

　因为∠C=∠BDE=90°，所以

∠ADE=∠CBH．

　又由∠A=∠BCH=45°，可知△ADE∽△CBH．所以

　类比 如果保留例1中等腰三角形诸条件，去掉直角这一特殊性，那么是否会产生类似的命题呢？由此想到例2．

　例2 如图2-114．已知△ABC中，∠C=4∠B=4∠A，BD是AC边上的中线，E点在AB上，且∠AED=∠C，S_△ABC=1，求S_△AED．

　解 类似例1的解法，引CF⊥AB于F，交BD于H，显然△ADE不相似于△CBH．但由已知条件

∠C=4∠B=4∠A，

　则

∠A=∠B=30°，∠C=120°．

　由于CF平分∠C，所以

∠ACF＝60°．

　又因为∠AED=∠ACB，∠A=∠A，所以

△ADE∽△ABC，

　所以

　由于△AFC中∠AFC=90°，∠A=30°，所以若设CF=x，则

　类比 如果保留例1中的直角等条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到例3．

　例3 已知△ABC中∠C= 90°，AC=2BC=2，BD是AC边上的中线，CF⊥AB于F，交BD于H(图2-115)．求S_△CBH．

　解 本题直接求S_△CBH有些困难，联想例1、例2中的△ADE，不妨引辅助线DE⊥BD交AB于E．

　由于AC=2BC=2，D是AC的中点，且∠C=∠BDE=90°，所以

∠CBH=∠ADE=45°．

　因为CF⊥AB于F，所以∠BCH=∠A．由于BC=AD=1，所以

△CBH≌△ADE，

　所以 S_△CBH=S_△ADE.

　因此只要求出S_△ADE即可，为此，设DE=x，则

　(2)例3由例1类比而来，最自然的想法是求S_△ADE，为增加难度与变换方式获得新命题，故例3反求S_△CBH．

　我们知道一个三角形的三边如果是a，b，c，那么就有

│b-c│＜a＜b+c，①

　即三角形任意一边小于其余两边之和，大于其余两边之差．

　我们对①类比：是否有

　存在呢？如果②存在，那么就发现了如下命题(例4)．

21、若2(x+1)－5＜3(x－1)+4的最小整数解是方程x－mx＝5的解，求代数式的值.

20、若关于的方程组的解满足>，求p的取值范围.

19、求不等式≤的非负数解.

18、解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来:

　 (1)　　　　　 (2)≤1

　 (3)≤　 　　(4)＞－2

17、下面解不等式的过程是否正确，如不正确，请找出，并改正.

　 解不等式：

解：去分母，得　　 ①

去括号，得　　 ②

移项，合并，得 5＜21　　　　　　　　 ③

因为x不存在，所以原不等式无解.　　 ④

16、当k　　　　　 时，代数式(k-1)的值不小于代数式1-的值.

15、不等式的非正整数解　　　　 _____.

14、若关于x的不等式x－1≤a有四个非负整数解，则整数a的值为