4．在凸五边形ABCDE中，S_△ABC=S_△BCD=S_△CDE=S_△DEA=S_△EAB=1，CE与AD相交于F，求S△CFD．

3．已知点P，Q，R分别在△ABC的边AB，BC，CA上，且BP=PQ=QR=RC=1，求△ABC的面积的最大值．

2．E，F分别在矩形ABCD的边BC和CD上，若△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是3，4，5，求△AEF的面积．

1．填空：

　________．

　(2)一个三角形的三边长都是整数，周长为8，则这个三角形的面积是________．

　(3)四边形ABCD中，∠A=30°，∠B=∠D=90°，AB=AD，AC=1，则四边形ABCD的面积是______．

　(4)梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于O．若S_△ABO=p₂，S_△CDO=q₂，则S_ABCD=____．

　 △_ABC=40．若BE，CD相交于F，则S_△DEF=______．

2．利用面积解题

　有的平面几何问题，虽然没有直接涉及到面积，然而若灵活地运用面积知识去解答，往往会出奇制胜，事半功倍．

　例6 在△ABC内部或边界上任取一点P，记P到三边a，b，c的距离依次为x，y，z．求证：ax+by+cz是一个常数．

　证 如图2-132，连结PA， PB，PC，把△ABC分成三个小三角形，则

　S_△ABC＝S_△PAB+S_△PCB+S_△PCA

　所以 ax+by+cz=2S_△ABC，

　即ax+by+cz为常数．

　说明 若△ABC为等边三角形，则

　此即正三角形内一点到三边的距离和为常数，此常数是正三角形的高．

　例7 如图2-133，设P是△ABC内任一点，AD，BE，CF是过点P且分别交边BC，CA，AB于D，E，F．求证：

　证 首先，同例2类似，容易证明

　说明 本例的结论很重要，在处理三角形内三条线交于一点的问题时，常常可以用这一结论去解决．

　例8 如图2-134，已知D，E，F分别是锐角三角形ABC的三边BC，CA，AB上的点，且AD，BE，CF相交于点P，AP=BP=CP=6，设PD=x，PE=y，PF=z，若xy+yz+zx=28，求xyz的值．

　解 由上题知

　去分母整理得

　3(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+324

　=xyz+6(xy+yz+zx)+36(x+y+z)+216，

　所以 xyz=108-3(xy+yz+zx)=24．

练习二十二

1．有关图形面积的计算和证明

　解 因为CD⊥AB，AC=CB，且△ABD内接于半圆，由此可得　

　所以，阴影部分AEFBDA的面积是

　例2 已知凸四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且△ABC，△ACD，△ABD的面积分别为S₁=5，S₂=10，S₃=6．求△ABO的面积(图2-128)．

　解 首先，我们证明△ABC与△ACD的面积比等于BO与DO的比．过B，D分别作AC的垂线，垂足为E，F．于是Rt△BEO

　由题设

　设S_△AOB=S，则

　所以

　例3 如图2-129，AD，BE，CF交于△ABC内的一点P，并将△ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已在图中给出．求△ABC的面积．

　分析 如果能把未知的两个小三角形的面积求出，那么△ABC的面积即可得知．根据例1，这两个面积是不难求出的．

　解 设未知的两个小三角形的面积为x和y，则

　即

　又

　即

　①÷②得

　再由②得x=56．因此

　S_△ABC＝84+70+56+35+40+30=315．

　例4 如图2-130，通过△ABC内部一点Q引平行于三角形三边的直线，这些直线分三角形为六个部分，已知三个平形四边形部分的面积为S₁，S₂，S₃，求△ABC的面积．

　解 为方便起见，设

　S△QDG=S′₁，S△QIE=S′₂，S△QFH=S′₃，则

　所以

　同理可得

　从①，②，③中可以解得

　所以

　例5 在一个面积为1的正方形中构造一个如图2-131所示的正方形：将单位正方形的每一条边n等分，然后将每个顶点和它相对的顶点最接近的分点连接起来．如果小正方形(图中阴影部分)的面积恰

　解 如图2-131，过F作BC的平行线交BG于H，则∠GHF=∠CED，∠FGH=∠DCE=90°，故

　n²-n-90=0，

　所以n=10．

4．某市场调查员在某超市随机调查了一些顾客的购物的时间，并将调查的数据绘制成频数分布直方图，如图所示．

　　 (1)共有多少位顾客接受调查？

　　 (2)哪组的顾客人数最多？频率是多少？

　　 (3)绘制频数分布折线图．

3．某罐头厂对其生产的沙丁鱼罐头质量进行抽样检查，抽取的20只罐头质量(单位：克)如下：

　　 200　 205　 208　 201　 215　 190　 193　 206　 215　 198　 206　 216　 208

　　 212　 223　 199　 193　 208　 204　 200

　　 (1)请选择适当的组距，绘制频数分布折线图．

(2)如果将200克及以上质量的罐头视作合格，当合格率达到60%时，认为机器运转正常，请问当前机器是否运转正常？

2．绘制3．2节课时训练第4题的频数分布折线图．

1．一个样本分成5个组，第一、二、三组共有190个数据，第三、四、五组共有230个数据，且第三组的频率是0.20，则第三组的频数是(　 )．

　　 (A)50　　 (B)60　　 (C)70　　 (D)80