5. 如图平行四边形ABCD中，过A作直线交BD于P，交BC于Q，交DC的延长线于R，求证：AP=PQ·PR

4. 正方形ABCD中，E为CD的中点，F在BC上，且CF∶BC=1∶4，求证：

3. 如图，平行四边形ABCD中，E在CD上，DE：CE=2：3连AE、BE、BD且AE、BD相交于点F，则SΔDEF:SΔEBF:SΔABF为(　)

A. 4∶10∶25　 　　　　 B. 4∶9∶25　 　　　　　 C. 2∶3∶5　 　　　　　　 D. 2∶5∶25

2. 两个相似三角形的面积之比为9：4，若较大三角形的一个内角的平分线长6cm，则另一个三角形对应角的平分线长为_________

1. ΔABC中，D、E分别为AB、AC的中点，连DE则ΔADE与ΔABC的周长之比为________; 它们的面积之比为________

2.6相似三角形的性质同步练习

[典型例题]

例1. 如图，ABBC ， CDBC， B，C是垂足，AC，BD交于P。过P作PQBC于Q。

求证：AQP=PQD

分析：由已知ABBC ， CDBC，PQBC，则AB‖PQ‖DC

AQP=QAB， PQD=QDC

　　 又已知RtABQ和RtDCQ

　　 只须证明RtABQ∽RtDCQ即可　　　　

证明： AB‖PQ‖DC

　　 　　== ，=

∴PQ·BC=AB·CQ=CD·BQ

∴AB·CQ=CD·BQ　 即

又ΔABQ ，ΔDCQ均为直角三角形

∴RtΔABQ∽RtΔDCQ

∴∠BAQ=∠CDQ　 ∴∠AQP=∠PQD

例2. 如图，ΔACB中，∠ACB=90º，D在BC边上，连AD，过B作BE⊥AB，∠BAE=∠CAD，过E作EF⊥CB于F

求证：BF=CD

分析：∠C=∠EBA=90º，∠BAE=∠CAD

∴RtΔACD∽RtΔABE

又易知∠ABC与∠FBE互余，且∠C=∠F=90º

∴RtΔACB∽RtΔBEF

　∴只须寻找与线段AB，BE“相关”的比例式即可

证明：RtΔACD与RtΔABE中，

　　　 ∵∠CAD=∠BAE

　　　 ∴RtΔACD∽RtΔABE

　　 ∴　

∴CD=　 … ①

又BE⊥AB，BF⊥AC　 ∵∠FBE=∠CAB　

∴RtΔACB∽RtΔBFE

　　 ∴　 ∴BF= … ②

　 ∴由①②知：BF=CD

例3. 如图，梯形ABCD中，AD//CB 对角线AC，BD相交于点O，设梯形ABCD的面积为S，ΔAOD，ΔBOC，ΔAOB的面积分别为S，S和S

证明：，是方程X-X+ S=0的两实数根

分析：本题实质上是证明+=且= S，即已知S，S，求S和S，由相似三角形和同底上三角形的面积比的性质，将面积比转换为线段之比即可

　 证明：　 ∵=，　

∴

∵AD//BC　 ∴

ΔAOD∽ΔCOB　 ∴　

∴=1　

∴SS=，即= S　 … ①

又S= S+S+2S= S+2+ S=(+)

∴+=　 … ②

∴由①②可知，，是方程X-X+ S=0的两个实数根

[模拟试题]

12．如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，CD是高，已知Rt△ABC的三边长都是整数且BD=11³，求Rt△BCD与Rt△ACD的周长之比．

11．如图，已知，求证：△ABC∽△DBE．

◆拓展训练

10．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠ADB=60°，BD=10，DE：EB=1：4，求梯形的面积．

9．如上右图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=12，E为DC中点，AF⊥BE于点F，则AF=_____．