1．运用公式法

　在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：

　(1)a²-b²=(a+b)(a-b)；

　(2)a²±2ab+b²=(a±b)²；

　(3)a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)；

　(4)a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)．

　下面再补充几个常用的公式：

　(5)a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)²；

　(6)a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)；

　(7)aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a^n-2b+a^n-3b²+…+ab^n-2+b^n-1)其中n为正整数；

　(8)aⁿ-bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…+ab^n-2-b^n-1)，其中n为偶数；

　(9)aⁿ+bⁿ=(a+b)(a^n-1-a^n-2b+a^n-3b²-…-ab^n-2+b^n-1)，其中n为奇数．

　运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．

　例1 分解因式：

　(1)-2x^5n-1yⁿ+4x^3n-1yⁿ⁺²-2x^n-1yⁿ⁺⁴；

　(2)x³-8y³-z³-6xyz；

　(3)a²+b²+c²-2bc+2ca-2ab；

　(4)a⁷-a⁵b²+a²b⁵-b⁷．

　解 (1)原式=-2x^n-1yⁿ(x⁴n-2x²ny²+y⁴)

　　　　=-2x^n-1yⁿ[(x²n)²-2x²ny²+(y²)²]

　　　　=-2x^n-1yⁿ(x²n-y²)²

　　　　=-2x^n-1yⁿ(xⁿ-y)²(xⁿ+y)²．

　(2)原式=x³+(-2y)³+(-z)³-3x(-2y)(-Z)

　　　 =(x-2y-z)(x²+4y²+z²+2xy+xz-2yz)．

　(3)原式=(a²-2ab+b²)+(-2bc+2ca)+c²

　　　＝(a-b)²+2c(a-b)+c²

　　　=(a-b+c)²．

　本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：

　原式=a²+(-b)²+c²+2(-b)c+2ca+2a(-b)

　　=(a-b+c)²

　(4)原式=(a⁷-a⁵b²)+(a²b⁵-b⁷)

　　　 =a⁵(a²-b²)+b⁵(a²-b²)

　　　 =(a²-b²)(a⁵+b⁵)

　　　 =(a+b)(a-b)(a+b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

　　　 =(a+b)²(a-b)(a⁴-a³b+a²b²-ab³+b⁴)

　例2 分解因式：a³+b³+c³-3abc．

　本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．

　分析 我们已经知道公式

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³

　的正确性，现将此公式变形为

a³+b³=(a+b)³-3ab(a+b)．

　这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．

　解 原式=(a+b)³-3ab(a+b)+c³-3abc

　　　 =［(a+b)3+c³］-3ab(a+b+c)

　　　 =(a+b+c)［(a+b)²-c(a+b)+c²]-3ab(a+b+c)

　　　 =(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)．

　说明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为

　a³+b³+c³-3abc

　显然，当a+b+c=0时，则a³+b³+c³=3abc；当a+b+c＞0时，则a³+b³+c³-3abc≥0，即a³+b³+c³≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．

　如果令x=a³≥0，y=b³≥0，z=c³≥0，则有

　等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．

　例3 分解因式：x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…+x²+x+1．

　分析 这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x¹⁵开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式aⁿ-bⁿ来分解．

　解 因为

　x¹⁶-1=(x-1)(x¹⁵+x¹⁴+x¹³+…x²+x+1)，

　所以

　说明 在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．

3．用待定系数法分解因式：

　(1)2x²+3xy-9y²+14x-3y+20；

　(2)x⁴+5x³+15x-9．

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2．用求根法分解因式：

　(1)x³+x²-10x-6；

　(2)x⁴+3x³-3x²-12x-4；

　(3)4x⁴+4x³-9x²-x+2．

1．用双十字相乘法分解因式：

　(1)x²-8xy+15y²+2x-4y-3；

　(2)x²-xy+2x+y-3；

　(3)3x²-11xy+6y²-xz-4yz-2z²．

3．待定系数法

　待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．

　在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．

　例4 分解因式：x²+3xy+2y²+4x+5y+3．

　分析 由于

　(x²+3xy+2y²)=(x+2y)(x+y)，

　若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．

　解 设

　x²+3xy+2y²+4x+5y+3

　=(x+2y+m)(x+y+n)

　=x²+3xy+2y²+(m+n)x+(m+2n)y+mn，

　比较两边对应项的系数，则有

　解之得m=3，n=1．所以

原式=(x+2y+3)(x+y+1)．

　说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．

　例5 分解因式：x⁴-2x³-27x²-44x+7．

　分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x²+ax+b)(x²+cx+d)的形式．

　解 设

　原式=(x²+ax+b)(x²+cx+d)

　　=x⁴+(a+c)x³+(b+d+ac)x²+(ad+bc)x+bd，

　所以有

　由bd=7，先考虑b=1，d=7有

　所以

　原式=(x²-7x+1)(x²+5x+7)．

　说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．

　本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．

练习二

2．求根法

　我们把形如a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀(n为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，如

　f(x)=x²-3x+2，g(x)=x⁵+x²+6，…，

　当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式f(x)

　f(1)=1²-3×1+2=0；

　f(-2)=(-2)²-3×(-2)+2=12．

　若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．

　定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．

　根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．

　定理2

　的根，则必有p是a₀的约数，q是a_n的约数．特别地，当a₀=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a_n的约数．

　我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．

　例2 分解因式：x³-4x²+6x-4．

　分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有

　f(2)=2³-4×2²+6×2-4=0，

　即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．

　解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．

　原式=(x³-2x²)-(2x²-4x)+(2x-4)

　　=x²(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)

　　=(x-2)(x²-2x+2)．

　解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，

　所以

原式=(x-2)(x²-2x+2)．

　说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．

　例3 分解因式：9x⁴-3x³+7x²-3x-2．

　分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±

为：

　所以，原式有因式9x²-3x-2．

　解 9x⁴-3x³+7x²-3x-2

　　=9x⁴-3x³-2x²+9x²-3x-2

　　=x²(9x³-3x-2)+9x²-3x-2

　　=(9x²-3x-2)(x²+1)

　　=(3x+1)(3x-2)(x²+1)

　说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式

　可以化为9x²-3x-2，这样可以简化分解过程．

　总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分解了．

1．双十字相乘法

　分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax²+bxy+cy²+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法分解因式．

　例如，分解因式2x²-7xy-22y²-5x+35y-3．我们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为

2x²-(5+7y)x-(22y²-35y+3)，

　可以看作是关于x的二次三项式．

　对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为

　即

　-22y²+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．

　 再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解

　所以

　原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］

　　=(x+2y-3)(2x-11y+1)．

　上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：

　它表示的是下面三个关系式：

　(x+2y)(2x-11y)=2x²-7xy-22y²；

　(x-3)(2x+1)=2x²-5x-3；

　(2y-3)(-11y+1)=-22y²+35y-3．

　这就是所谓的双十字相乘法．

　用双十字相乘法对多项式ax²+bxy+cy²+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：

　(1)用十字相乘法分解ax²+bxy+cy²，得到一个十字相乘图(有两列)；

　(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．

　例1 分解因式：

　(1)x²-3xy-10y²+x+9y-2；

　(2)x²-y²+5x+3y+4；

　(3)xy+y²+x-y-2；

　(4)6x²-7xy-3y²-xz+7yz-2z²．

　解 (1)

　原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．

　(2)

　原式=(x+y+1)(x-y+4)．

　(3)原式中缺x²项，可把这一项的系数看成0来分解．

　原式=(y+1)(x+y-2)．

　(4)

　原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．

　说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．

蚊子与牛一样重

从前有一只骄傲的蚊子，总认为自己的体重和牛是一样重。有一天，它找到了牛，并说出了体重一样的理由。它认为，可以设自己的体重为a,牛的体重为b，则有：

a²－2ab+b²=b²－2ab+a²

左右两边分别化为：(a－b)²=(b－a)²

从而就有：a－b=b－a

移项，得：2a=2b,

即a=b

蚊子骄傲地把自己的理由说完，牛睁大了眼睛，听傻了！

请同学们想一想，牛和蚊子的体重真的会一样吗？若不一样，那么蚊子的证明究竟错在哪里呢？

在一次火灾中，大约有2.5×10⁵人无家可归，假如一顶帐篷占地100m²，可以安置40个床位。为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约占地多少平方米？估计你校的操场中可以安置多少人？要安置这些人，大约需要多少个这样的操场？

2、求证：11¹¹－11¹⁰－11⁹=11⁹×109