例3：已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a²+b²+c²+338=10a+24b+26c。试判断△ABC的形状。

析解：由于所给条件是关于a，b，c的一个等式，要判断△ABC的形状，设法求出式中的a，b，c的值或找出它们之间的关系(相等与否)等，因此考虑利用因式分解将所给式子进行变形。因为a²+b²+c²+338=10a+24b+26c，所以a²－10a+ b²－24b+c²－26c+338=0，所以a²－10a+25+ b²－24b+144+ c²－26c+169=0，所以(a－5)²+ (b－12)²+ (c－13)²=0。因为(a－5)²≥0，(b－12)²≥0，(c－13)²≥0，所以a－5=0，b－12=0，c－13=0，即a=5，b=12，c=13。因为5²+12²=13²，所以a²+ b²= c²，即△ABC是直角三角形。

点评：用代数方法来研究几何问题是勾股定理的逆定理的“数形结合思想”的重要体现。

2．求边长

例2：如图2，在△ABC中，∠C=135º，BC=，AC=2，试求AB的长。

析解：题中没有直角三角形，不能直接用勾股定理，可考

虑过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于D点，构成Rt△CBD

和Rt△ABD。在Rt△CBD中，因为∠ACB=135º，所以∠BCB=45º，

所以BD=CD，由BC=，根据勾股定理得BD²+CD²=BC²，得

BD=CD=1，所以AD= AC+ CD=3。在Rt△ABD中，由勾股定理得AB²= AD²+BD²=3²+1²=10，所以AB=。

点评：这两道题有一个共同的特征，都没有现成的直角三角形，都是通过添加适当的辅助线，巧妙构造直角三角形，借助勾股定理来解决问题的，这种解决问题的方法里蕴含着数学中很重要的转化思想，请同学们要留心。

1．求面积

例1：如图1，在等腰△ABC中，腰长AB=10cm，底BC=16cm，试求这个三角形面积。

析解：若能求出这个等腰三角形底边上的高，就可以求出

这个三角形面积。而由等腰三角形“三线合一”性质，可联想

作底边上的高AD，此时D也为底边的中点，这样在Rt△ABD

中，由勾股定理得AD²=AB²－BD²=10²－8²=36，所以AD=6

cm，所以这个三角形面积为×BC×AD=×16×6=48 cm²。

3、(10分)如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．

4(11分)一游泳池长48cm，小方和小朱进行游泳比赛，从同一处出发，小方平均速度为3m/秒，小朱为3.1m/秒.但小朱一心想快，不看方向沿斜线游，而小方直游，俩人到达终点的位置相距14m.按各人的平均速度计算，谁先到达终点，为什么？

四 拓广探索(本大题14分)

一船在灯塔C的正东方向8海里的A处，以20海里/小时的速度沿着北偏西30°方向航行。

(1)　　　 多长时间后，船距灯塔最近？

(2)　　　 多长时间后，船到达灯塔的正北方向？此时船距灯塔有多远？(参考数据：16²-8²≈13.9²)

2、(9分)一架云梯长20米，斜靠在墙上，梯子底端离墙12米，则梯子的顶端距地面多高？若梯子顶端下滑4米，则梯子底端在水平面上向墙外滑动多远？

1、(8分)如图,每周一升旗仪式，总令我们激动和自豪。升旗时小丽发现旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米,当他将绳子拉直,则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米.你能帮他求旗杆的高度吗？　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

8、一座桥横跨一江，桥长12m，一艘小船自桥北头出发，向南驶去，因水流原因，到达南岸时发现已经偏离南头5m，则小船实际行驶了________

三挑战技能(共38分)

7、假期，小王与同学们在公园里探宝玩游戏，按照

游戏中提示的方向，他们从A出发先向正东走了800m，再向正北走了200m，折向正西走300m，再向正北走600m，再向正东走100m，到达了宝藏处B，问A、B间的直线距离是　　 m．

6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90，CD⊥AB于

点D，AC=3，AB=5，则AD的长为　　　 。

5、在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高________米。