1.本节主要学习了：

(1)整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a²-b²；

(2)整式乘法的完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b².

4.重点与难点：重点是掌握公式(a+b)(a-b)=a²-b²,(a±b)²=a²±2ab+b².难点是公式中字母的广泛含义.

教材解读　 精华要义

数学与生活

如图15－16所示，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，

(1)请表示图15－16(1)中阴影部分的面积；

(2)某同学将阴影部分拼成了一个长方形，如图15－16(2)所示，这个长方形的长和宽分别是多少？请你表示出它的面积？

(3)比较(1)(2)的结果，你能发现什么？

思考讨论　 由图15－16(1)可知，阴影部分的面积为(a²-b²)，由图15－16(2)可知，拼成长方形的长为(a+b),宽为(a-b),其面积为(a+b)(a-b)，由于图(2)是由图(1)拼成的，故两图面积相等，所以有(a+b)(a-b)=a²-b²那么如何证明呢？

知识详解

知识点1　 平方差公式及其导出

平方差公式是指(a+b)(a-b)=a²-b².

这就是说，两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差.

课本中本节的开始是先让同学们做几个多项式相乘的小题.

经过计算，同学们首先发现，四个小题所得到的结果有惊人的相同之处：每个小题的结果都只含有两项，而且都可以写成两个数的平方差形式.

为什么会有这些相同之处呢？同学们会想到，这是由于每个小题中的两个多项式都有非常特殊的关联：它们的第一项都相同，第二项的绝对值相同，但是符号相反.

归纳类似的多项式相乘的式子，就得到了平方差公式(a+b)(a-b)=a²-a².

直接计算也可以得到这个公式：(a+b)(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b².

[注意] a,b仅仅是一个符号，它们可以表示数，也可以表示式子(单项式、多项式等)，只是它们的和与差的积，一定等于它们的平方差.

认识公式的特征至关重要.

平方差公式的特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.

知识规律小结　 (1)在应用公式(a+b)(a-b)=a²-b²时，需仔细识别公式中的a与b，例如：(2x+3)(2x-3)中，把2x看成a，3看成b；(-m+2n)(-m-2n)中，把-m看成a，2n看成b；(3a-2b)(-3a-2b)中,把-2b看成a,3a看成b，因此有：

(2x+3)(2x-3)=(2x)²-3²=4x²-9；

(-m+2n)(-m-2n)=(-m)²-(2n)²=m²-4n²；

(3a-2b)(-3a-2b)=(-2b)²-(3a)²=4b²-9a².

(2)在51×49中，a==50，b==1，

∴51×49=(50+1)(50-1)=50²-1²=2499.

知识点2　 完全平方公式及其推导

探究交流

计算下列各式，你能发现什么规律？

(1)(p+1)²=(p+1)(p+1)=　　　 ；

(2)(m+2)²=　　 ；

(3)(p-1)²=(p-1)(p-1)=　　　 ；

(4)(m-2)²=　　　 .

点拨　 两个数和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数乘积的2倍.

一般地，我们有：

(a+b)²= a²+2ab+b²,(a-b)²=a²-2ab+b².

两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加(或减)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.

例如：(2x+3)²=(2x)²+2·2x·3+3²=4x²+12x+9，

(3m-4)²=(3m)²-2·3m·4+4²=9m²-24m+16.

在记忆公式(a±b)²=a²±2ab+b²时，要在理解和比较的基础上记忆，两个公式相同之处在于两个数的平方和，不同之处在于中间项的符号不同，计算时要注意.如：(x-2y)²=x²-2·x·2y+(2y)²=x²-4xy+4y².

说明完全平方公式，既可以用多项式乘法进行推导：

(a+b)(a+b)=a·a+a·b+b·a+b²= a²+2ab+b².

同时，也可以用观察情境来推导，如图15－17所示.

由图(1)可知，(a+b)²=a²+2ab+b²，

由图(2)可知，(a-b)²=a²-2ab+b².

知识点3　 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不改变符号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.

[说明] 添括号法则与去括号法则是一致的，添括号正确与否，可用去括号进行检验.

知识点4　 公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的推导可以用多项式乘法公式椎导.

(x+a)(x+b)

=x²+bx+ax+ab

=x²+(a+b)x+ab.

例如：(x+2)(x+3)=x²+(2+3)x+2×3=x²+5x+6，

(x+2)(x-3)=x²+(2-3)x+2×(-3)=x²-x-6.

[注意]　 注意a与b的值，该公式在多项式乘法中广泛应用.

典例剖析　 师生互动

基本知识应用题

本节知识的基础应用主要包括：(1)会推导平方差公式；(2)会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算；(3)掌握公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab.

例1　 运用平方差公式计算.

(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).

(分析) (1)中，把3x看作a，2看作b；(2)中，2 a看作a，b看作b；(3)中，-x看作 a，2y看作b.

解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)²-2²=9x²-4.

(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)²-b²=4a²-b².

(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)²-(2y)²=x²-4y²

例2　 运用完全平方公式计算.

(1)(4m+n)²；　 (2)(y-)².

(分析)　 主要是正确地应用公式.

解：(1)(4m+n)²=(4m)²+2·4m·n+n²=16m²+8mn+n².

(2)(y-)2=y²-2y·+()²=y²-y+.

[说明] 在应用公式(a+b)(a-b)=a²-b²和(a±b)²=a²±2ab+b²时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a，哪一个是公式中的b.

例3　 运用乘法公式计算.

(1)102×98； (2)102²； (3)99².

(分析)灵活应用乘法公式计算.(1)中，102×98=(100+2)(100-2)；(2)中，102²=(100+2)²；(3)中，99²=(100-1)²，然后利用公式计算即可.

解：(1)102×98=(100+2)(100-2)=100²-2²=10000-4=9996.

(2)102²=(100+2)²=100²+2×100×2+2²=10000+400+4=10404.

(3)99²=(100-1)²=100²-2×100×1+1²=10000-200+1=9801.

例4　 计算.

(1)(m-5)(m+3)； (2)(2x-3)(2x-4).

(分析)本题主要考查公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的应用.

解：(1)(m-5)(m+3)

=m²+[(-5)+3]m+(-5)·3

=m²-2m-15.

(2)(2x-3)(2x-4)

=(2x)²+[(-3)+(-4)]·2x+(-3)·(-4)

=4x²-14x+12.

综合应用题

本节知识的综合应用主要包括：(1)公式之间的综合应用；(2)与方程的综合应用；(3)与不等式的综合应用.

例5　 计算.

(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；　 (2)(a+b+c)²；

(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).

(分析) 本题主要考查灵活应用整式乘法公式进行计算.(1)题把x看作公式中的a，(2y-3)看成公式中的b；(2)题把(a+b)看成公式中的a，c看成公式中的b；(3)题运用公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab.

解：(1)(x+2y-3)(x-2y+3)=[x+(2y-3)][x-(2y-3)]

=x²-(2y-3)²=x²-(4y²-12y+9)

=x²-4y²+12y-9.

(2)(a+b+c)²=[(a+b)+c]²=(a+b)²+2(a+b)c+c²

=a²+2ab+b²+2ac+2bc+c².

(3)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=(y²-4)-(y²+4y-5)

=y²-4-y²-4y+5=-4y+1.

例6　 计算.

(1)(b-2)(b²+4)(b+2)；　 (2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b).

(分析) (1)题用乘法的交换律和结合律；(2)题用平方差公式和整式减法.

解：(1)(b-2)(b²+4)(b+2)=(b-2)(b+2)(b²+4)

=(b²-4)(b²+4)=b⁴-16.

(2)(2a-b)(2a+b)-(3a-2b)(3a+2b)=(4a²-b²)-(9a²-4b²)

=4a²-b²-9a²+4b²=-5a²+3b².

学生做一做　 计算.

(1)(-x)(+x²)(x+)；　 (2)(x+3)²-(x+2)(x-2).

老师评一评　 (1)原式=-x⁴；　 (2)原式=6x+13.

例7　 解方程 2(x-2)+x²=(x+1)(x-1)+x

(分析)　 熟练应用整式的乘法公式.

解：2x-4+x²=x²-1+x，

2x+x²-x²-x=-1+4，

∴x=3.

例8　 解不等式x(x-3)＞(x+7)(x-7).

(分析)考查应用整式乘法及平方差公式去括号.

解：x²-3x＞x²-49，

x²-3x-x²＞-49，

-3x＞-49，

∴x＜.

探索与创新题

主要考查灵活应用所学公式解决现实问题.

例9　 计算1998²-1997×1999.

(分析)同时应用完全平方公式和平方差公式化简，其中，1997×1999=(1998-1)(1998+1).

解：1998²-1997×1999

=1998²-(1998-1)(1998+1)

=1998²-(1998²-1)

=1998²-1998²+1

=1.

学生做一做　 计算.

老师评一评　 原式=

=

=

=

=2003.

例10　 计算(2+1)(2²+1)(2⁴+1)…(2²ⁿ+1).

(分析)要计算本题，一般先计算每一个括号内的，然后再求它们的积，这样做是复杂的，也是不必要的，我们不妨考虑用平方差公式来解决，即在原式上乘以(2-1),再同时除以(2-1)即可.

解：原式=

=(2²-1)(2²+1)(2⁴+1)…(2²ⁿ+1)

=(2⁴-1)(2⁴+1)…(2²ⁿ+1)

=(2²ⁿ)²-1

=2⁴ⁿ-1.

学生做一做　 计算.

(1)3·(2²+1)(2⁴+1)…(2³²+1)+1；

(2)100²-99²+98²-97²+96²-95²+…+2²-1²；

(3)(1-)(1-)(1-)…(1-)(1-).

老师评一评　 (1)由例10可以得到提示.

(2²+1)(2⁴+1)…(2³²+1)

=

=[(2³²)²-1]·

=(2⁶⁴-1).

∴原式=3·(2⁶⁴-1)+1=2⁶⁴-1+1=2⁶⁴.

(2)由平方差公式和等差数列公式S_n=可知，

原式=(100+99)(100-99)+(98+97)(98-97)+(96+95)(96-95)+…+(4+3)(4-3)+(2+1)(2-1)

=100+99+98+97+96+95+…+4+3+2+1

=

=5050.

(3)由平方差公式和分数乘法公式可知，

原式=(1+)(1-)(1+)(1-)(1+)(1-)…(1+)·(1-)(1+)(1-)

=××××××…××××

=·

　 =.

例11　 已知(a+b)²=7，(a-b)²=4，求a²+b²，ab的值.

(分析)由已知(a+b)²=7，(a-b)²=4，就目前的知识水平，具体求出a和b的值是比较困难的，但由整式的乘法公式可以将已知化成：

a²+2ab+b²=7，①

a²-2ab+b²=4，②

由①+②可以求出a²+b²，由①-②可以求出ab.

解：由题意可知，

a²+2ab+b²=7，①

a²-2ab+b²=4，②

①+②得2(a²+b²)=11，∴a²+b²=.

①-②得4ab=3.∴ab=.

小结 (1)由两数和的平方和两数差的平方，可以通过两式的加减求出两数的平方和与两数的积，同理，已知两数和的平方或两数差的平方，以及两数的平方和，可以求出两数的积.

(2)由平方差公式，也可以进行变形.例如：已知a²-b²=14，a+b=7，那么a-b=2.

例12　 观察下列各式：

(x-1)(x+1)=x²-1

(x-1)(x²+x+1)=x³-1

(x-1)(x³+x²+x+1)=x⁴-1

根据前面各式的规律可得：

(x-1)(xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1)=　　　 .(其中n为正整数)

(分析)由已知各式可以发现：

(x-1)(xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x+1)=xⁿ⁺¹-1.

小结　 与上例类似地有：

由(a-b)(a+b)=a²-b²

(a-b)(a²+ab+b²)=a³-b³

(a-b)(a³+a²b+ab²+b³)=a⁴-b⁴

……

可以得出(a-b)(aⁿ+a^n-1b+a^n-2b²+…+bⁿ)=aⁿ⁺¹-bⁿ⁺¹

学生做一做　 观察下列各式：

1·2·3·4+1=5²

2·3·4·5+1=11²

3·4·5·6+1=19²

……

(1)请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明；

(2)根据(1)计算2000·2001·2002·2003+1.(用一个最简式子表示)

老师评一评　 (1)n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)²，推导如下：

∵n(n+1)(n+2)(n+3)+1

=[n(n+3)][(n+1)(n+2)]+1

=(n²+3n)(n²+3n+2)+1

=(n²+3n)²+2(n²+3n)+1

=(n²+3n+1)²，

∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n²+3n+1)².

(2)当n=2000时，

(n²+3n+1)²=(2000²+3×2000+1)²=4006001²，

∴2000·2001·2002·2003+1=4006001².

易错与疑难题

例13　 计算.

(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)；

(2)(a+b)²(a-b)²-(a²+b²)(a-b).

错解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)

=[2x+(y-z+10)][2x-(y-z+10)]

=4x²-(y-z+10)².

(2)(a+b)²(a-b)²-(a²+b²)(a-b)

=[(a+b)(a-b)]²-[(a²)²-(b²)²]

=(a²-b²)²-(a⁴-b⁴)

=(a⁴-b⁴)-(a⁴-b⁴)

=0.

(分析) 第(1)小题的两个括号中，2x与10是相同的部分，y与-y及-z与z都互为相反数，分组结合后可利用平方差公式.

第(2)小题中，(a+b)²(a-b)²在逆用积的乘方性质后可利用平方差公式，(a²+b²)(a-b)，则需利用多项式的运算法则计算.

正解：(1)(2x+y-z+10)(2x-y+z+10)

=[(2x+10)+(y-z)][(2x+10)-(y-z)]

=(2x+10)²-(y-z)²

=4x²-y²-z²+10x+2yz+100.

(2)(a+b)²(a-b)²-( a²+b²)(a-b)

=[(a+b)(a-b)]²-(a³+ab²-a²b-b³)

=(a²-b²)²-a³-ab²+a²b+b³

=a⁴-a³-2a²b²+a²b-ab²+b³+b⁴.

小结　 错解第(1)小题是在添括号时发生符号错误.错解第(2)小题的错误有二：一是只凭想象而无根据地用a⁴-b⁴代替(a²-b²)²，其实这二者并不相等；二是计算(a²+b²)(a-b)时，在不具备使用平方差公式的条件下，错误地使用了这个公式.

应该牢固地掌握公式的特征，解题时每一步都必须有理有据，包括严防发生符号错误.

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中考命题总结与展望

本节知识在中考中多以填空、选择题的形式出现，也有少部分的化简求值题及与解方程、解不等式和函数知识结合在一起的综合题.

中考试题预测

例1 (2004·北京)若a的值使得x²+4x+a=(x+2)²-1成立，则a的值为(　　 )

A.5　　　　　　 B.4　　　　　　 C.3　　　　　　 D.2

(分析)因为x²+4x+a=(x+2)²-1，所以x²+4x+a=x²+4x+3，因此，a=3，故正确答案为C项.

例2 (2004·山西)已知x+y=1，那么x²+xy+y²的值为　　　 .

(分析) 由x²+xy+y²得x²+xy+y²=(x²+2xy+y²)= (x+y)².又由于x+y=1，所

以x²+xy+y²=(x+y)²=×1²=.

答案：

例3　 (2004·黑龙江)若+(xy-6)²=0，则x²+y²的值为(　　 )

A.13　　　　　　 B.26　　　　　　 C.28　　　　　　 D.37

(分析) 本题主要考查灵活应用完全平方公式及其变式.由绝对值和平方的非负性可得

∴

∴x²+y²=(x+y)²-2xy=5²-2×6=13.因此，正确答案为A项.

例4　 (2004·南昌)如图15－18所示的是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长(x＞y)，请观察图案，指出以下关系式中，不正确的是(　　 )

A.x+y=7　　　　 B.x-y=2　　　　 C.4xy+4=49　　　　　 D.x²+y²=25

(分析)由图示可以发现：

(x+y)²=4xy+(x-y)²，

并且(x+y)²=49，(x-y)²=4.

所以x+y=7，x-y=2，4xy+4=49，

而x²+y²=[(x+y)²+(x-y)²]=(49+4)=×53≠25.

故关系式不正确的是D.

答案：D

例5　 (2004·广州)方程组的解为　　　 .

(分析)本题主要考查平方差公式的灵活应用.

因为x²-y²=(x+y)(x-y)，且x+y=5，所以x-y=3.

所以原方程组可以化为所以

∴原方程组的解为

课堂小结　 本节归纳

3.情感态度与价值观：(1)通过从多项式的乘法到乘法公式，再运用公式计算多项式的乘法，培养学生从一般到特殊，再从特殊到一般的思维能力；(2)通过乘法公式的几何背景，培养学生运用数形结合的思想方法和整体的数学思想方法的能力.

2.过程与方法：经历探索平方差公式、完全平方公式和公式(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab的过程，培养学生研究问题和探索规律的方法.

1.知识与技能:掌握整式乘法的平方差公式、完全平方公式和(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab公式，通过公式运用，培养学生运用公式的计算能力.

11．在函数y=-3x的图象上取一点P，过P点作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为-2，求△POA的面积(O为坐标原点)．

10．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数？

　　 (1)电报收费标准是每个字0.1元，电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系；

　　 (2)地面气温是28℃，如果每升高1km，气温下降5℃，则气温x(℃)与高度y(km)的关系；

　　 (3)圆面积y(cm²)与半径x(cm)的关系．

　　 探究园

9．已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x=________．

　　 ☆我能答

8．正比例函数y=kx(k为常数，k<0)的图象依次经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________．

7．若x、y是变量，且函数y=(k+1)x^k2是正比例函数，则k=_________．