2.解⑴C(2a，0)，……………………………………………1分

D(0，2a+8)………………………………………………………………2分

⑵方法一：由题意得：A(－4，0)，B(0，4)

－4＜a＜0，且a≠2，………………………………………………………………3分

①　　　 当2a+8＜4，即－4＜a＜－2时

AC=－4－2a，BD=4－(2a+8)=－4－2a

∴AC=BD……………………………………………………………………………5分

②　　　 当2a+8＞4，即－2＜a＜0时

同理可证：AC=BD

综上：AC=BD……………………………………………………………………………6分

方法二：①当点D在B、O之间时，

连CD，∵∠COD＝90°

∴圆心M在CD上，………………………………………………………………3分

过点D作DF∥AB，

∵点M为CD中点，

∴MA为△CDF中位线，

∴AC＝AF，…………………………………………………………………………4分

又DF∥AB，

∴，

而BO＝AO　　

∴AF=BD

∴AC＝BD……………………………………………………………………………5分

②点D在点B上方时，同理可证：AC=BD

综上：AC=BD…………………………………………………………………………6分

⑶方法一

①A(－4,0)，B(0，4)，D(0，2a+8)，M(a，a+4)，△BDE、△ABO均为等腰直角三角形，

E的纵坐标为a+6，∴ME=(y_E－y_M)=[a+6-(a+4)]=2…………………7分

AB=4…………………………………………………………………………8分

∴AB=2ME…………………………………………………………………………9分

②AM=( y_M－y_A)＝(a+4)，BE=|y_E－y_B|=|a+2|，……………………10分

∵AM=BE

又－4＜a＜0，且a≠2，

1⁰　 当－4＜a＜－2时

(a+4)= －(a+2)

∴a=－3

M(－3，1)………………………………………………………………………11分

2⁰　 当－2＜a＜0时

(a+4)= (a+2)

∴a不存在………………………………………………………………………12分

方法二：

①当点D在B、O之间时，作MP⊥x轴于点P、MQ⊥y轴于点Q，取AB中点N，

在Rt△MNO与Rt△DEM中，MO＝MD

∠MON＝45⁰－∠MOP

∠EMD＝45⁰－∠DMQ＝45⁰－∠OMQ＝45⁰－∠MOP

∴∠MON＝∠EMD

∴Rt△MNO≌Rt△DEM………………………………………………………………7分

∴MN＝ED＝EB

∴AB＝2NB＝2(NE+EB)＝2(NE+MN)＝2ME…………………………8分

当点D在点B上方时，同理可证………………………………………………9分

②当点D在B、O之间时，

由①得MN=EB，

∴AM=NE　 ……………………………………………………………………10分

若AM=BE，则AM=MN=NE=EB=AB=

∴M(－3，1)……………………………………………………………………11分

点D在点B上方时，不存在。…………………………………………………12分

注：(2)、(3)两问凡需要讨论而没有讨论的，每漏讨论一次扣1分。

1.

.解：(1)S_△PCQ＝PC·CQ＝＝＝2， 　　　………1分

　　解得　＝1，＝2　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　 ………2分

∴当时间为1秒或2秒时，S_△PCQ＝2厘米²； 　　　　　 ………3分

(2)①当0＜≤2时，S＝＝；　 ………5分

　 ②当2＜≤3时，　　 S＝＝；………7分

　 ③当3＜≤4.5时，S＝＝；…9分

(3)有；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　 　　　　　　………10分

①在0＜≤2时，当＝，S有最大值，S₁＝；　 ………11分

　②在2＜≤3时，当＝3，S有最大值，S₂＝；　　　　 ………12分

　　 ③在3＜≤4.5时，当＝，S有最大值，S₃＝；　　 ………13分

∵S₁＜S₂＜S₃∴＝时，S有最大值，S_最大值＝． ………14分

3.解、解：(1)设直线AB的解析式为y＝kx+b　

由题意，得　 　　 b＝6

8k+b＝0　　　

解得 　k＝－ 　 b＝6

所以，直线AB的解析式为y＝－x+6．　………2分

(2)由　AO＝6， BO＝8 得　AB＝10

所以AP＝t ，AQ＝10－2t

1°　当∠APQ＝∠AOB时，△APQ∽△AOB．

所以　＝　 　解得　t＝(秒)　………4分

2°　当∠AQP＝∠AOB时，△AQP∽△AOB．

所以　＝　 　解得　t＝(秒) ………6分

(3)过点Q作QE垂直AO于点E．

在Rt△AOB中，Sin∠BAO＝＝　　 …………7分

在Rt△AEQ中，QE＝AQ·Sin∠BAO＝(10-2t)·＝8－t

所以，S_△APQ＝AP·QE＝t·(8－t)

　　　　　 ＝－+4t＝ ……………………9分

解得t＝2(秒)或t＝3(秒)． ……………………10分

(注：过点P作PE垂直AB于点E也可，并相应给分)

2.2005年无锡市

解、(1)证∠APE=∠ADQ，∠AEP=∠AQD.

(2)注意到△APE∽△ADQ与△PDE∽△ADQ，及S_△PEF=，得S_△PEF==.　 ∴当，即P是AD的中点时，S_△PEF取得最大值.

(3)作A关于直线BC的对称点A′，连DA′交BC于Q，则这个点Q就是使△ADQ周长最小的点，此时Q是BC的中点.

1. 解：(1)不变.　　 ………………………………………………………………1分

　　　　　　 理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线OP不变.　 ………3分

　　　 (2)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时，△AOB的面积最大.　　 ………………………………4分

　　　　　 如图，若h与OP不相等，则总有h<OP，

　　　　　 故根据三角形面积公式，有h与OP相等时△AOB的面积最大. …………………………………5分

　　　　　 此时，S_△AOB=.

　　　　　 所以△AOB的最大面积为. ……………6分

1.点在直线上运动

2．如图，已知直线y=x+4与x轴、y轴分别相交于点A、B，点M是线段AB(中点除外)上的动点，以点M为圆心，OM的长为半径作圆，与x轴、y轴分别相交于点C、D．

(1)设点M的横坐标为a，则点C的坐标为　　　　　 ，点D的坐标为　　　　　 (用含有a的代数式表示)；

(2)求证：AC=BD；

(3)若过点D作直线AB的垂线，垂足为E．

①求证： AB=2ME；

②是否存在点M，使得AM=BE？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．　　　　　　　　　　　　　

(3)．(重庆市2005)如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P、Q移动的时间为t秒．

(1) 求直线AB的解析式；

(2) 当t为何值时，△APQ与△AOB相似？

(3) 当t为何值时，△APQ的面积为个平方单位？

练习

1.(分类讨论题)

已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3厘米，CB＝4厘米．两个动点P、Q分别从A、C两点同时按顺时针方向沿△ABC的边运动．当点Q运动到点A时，P、Q两点运动即停止．点P、Q的运动速度分别为1厘米/秒、2厘米/秒，设点P运动时间为(秒)．

(1)当时间为何值时，以P、C、Q三点为顶点的三角形的面积(图中的阴影部分)等于2厘米²；

(2)当点P、Q运动时，阴影部分的形状随之变化．设PQ与△ABC围成阴影部分面积为S(厘米²)，求出S与时间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；

(3)点P、Q在运动的过程中，阴影部分面积S有最大值吗？若有，请求出最大值；若没有，请说明理由．

(1)(2005年北京市)

如图所示，一根长2a的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，设木棍的中点为P. 若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.

(1)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的

距离是否变化，并简述理由.

(2)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.

(2)、(2005年无锡市)

如图，已知矩形ABCD的边长AB=2，BC=3，点P是AD边上的一动点(P异于A、D)，Q是BC边上的任意一点. 连AQ、DQ，过P作PE∥DQ交AQ于E，作PF∥AQ交DQ于F.

(1)求证：△APE∽△ADQ；

(2)设AP的长为x，试求△PEF的面积S_△PEF关于x的函数关系式，并求当P在何处时，S_△PEF取得最大值？最大值为多少？

(3)当Q在何处时，△ADQ的周长最小？(须给出确定Q在何处的过程或方法，不必给出证明)