1、容易把一个正方形分成42=16个正方形，再把其中位于一角的9个拼成一个正方形，共得：16-9+1=8个正方形 。　　　　　 (6分)

分成16个正方形后，把其中任意5个分成4个小正方形，共有16-5+5×4=31个正方形。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

2、试设计一种方法，把一个立方体分割成55个立方体(要求：不重复不遗漏，分得的立方体大小可以不相同)。

1、试设计一种方法，把一个正方形不重复不遗漏地分割成8个正方形(分得的正方形大小可以不相同)；又问如何把正方形按上要求分成31个正方形？

如图：菱形PQRS内接于矩形ABCD，使得P、Q、R、S为AB、BC、CD、DA上的内点。已知PB=15、BQ=20、PR=30、QS=40、若既约分数为矩形ABCD的周长，求m+n。

设AS=x、AP=y ……(2分)，由菱形性质知PRSQ，且互相平分，这样得到8个直角三角形，易知PR与SQ的交点是矩形ABCD的中心。由已知可得其中6个三角形的边长分别为15、20、25。由对称性知CQ、CR的长为x、y。则Rt△ASP和Rt△CQR的三边长分别为x、y、25，矩形面积等于8个Rt△的面积之和。则有：

(20+x)(15+y)=6××20×15+2×xy　　　　　　 (8分)

则有　 3x+4y=120　 (1)

又　　 x²+y²=625　　 (2)　　　　　　　　　　　　　 (2分)

得　 x₁=20　　　　　　 　x₂=

　　　　 y₁=15　　　　　　 y₂=　　　　　　　　　　　　 (5分)

当x=20时　　 BC=x+BQ=40 这与PR=30不合

故　 x=　　　　 y=　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

∴矩形周长为2(15+20+x+y)= 　　　　　　　　　　(5分)

即：m+n=677　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　(1分)

　下表是某学校参加一次数学竞赛中参赛同学做对题目的情况记录表，第一行的值表示做对的题目的题数，第二行的值表示做对相应题目的同学人数。

　对此次竞赛的情况有如下统计：

(1)本次竞赛共有12道题目；

　(2)做对3题和3题以上的同学每人平均做对6题；

　(3)做对10题和10题以下的同学每人平均做对5题；

　问：参加本次竞赛的同学共有多少人？

解：设共有x名同学参加了本次竞赛。

　　　 做对3题和3题以上的人数为x-(1+3)=x-4, 那么，所有同学做对

　　　 6(x-4)+11+23=6x-17题；

　　　 做对10题和10题以下的人数为x-(1+1)=x-2, 那么，所有同学做对

　　　 5(x-2)+111+121=5x+13题。

　　　 又做对的总题数相等，所以6x-17=5x+13.

　　　 解这个方程得　 x=30.

　　　 答：共有30名同学参加了本次竞赛。

7.一副扑克牌有54张，最少抽取　 16　　 张，方能使其中至少有2张牌有相同的点数？

6.小明和小刚在长90米的游泳池的对边上同时开始游泳，小明每秒游3米，小刚每秒游2米，他们来回游了12分钟，若不计转向的时间，则他们交汇的次数是　20　　。

5.已知四边形的四个顶点为A(8,8)，B(－4,3)，C(－2，－5)，D(10，－2)，则四边形在第一象限内的部分的面积是　　　

4.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC，∠A＝，∠D＝，CD的垂直平分线交CD于E，交BA于的延长线于F，若AD＝9，则BF＝　9　；

3.正三角形ABC所在平面内有一点P，使得⊿PAB、⊿PBC、⊿PCA都是等腰三角形，则这样的P点有 　　10　 个