圆周角(3)――习题课

学习目的：复习巩固圆周角定理及推论内容，并注意综合应用。

重点难点：综合应用

教学过程：一、复习提问：

1、圆周角定理的三个推论的内容及推论1的后一段话的前提条件。

3、已知：⊙O中，AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB于D，F是⊙O上一点且CF＝CB，BF交CG于E。求证：CE＝BE

证法一：如图，连结CB

∵AB是⊙O的直径，弦CG⊥AB

∴BC＝GB

∵CF＝BC

∴CF＝BG

∴∠C＝∠CBE

∴CE＝BE

证法二：作ON⊥BF于N，连结OE

∵AB是⊙O的直径，且AB⊥CG

∴CB＝BG

∴CB＝CF

∴CF＝BC＝BG

∴BF＝CG

∴ON＝OD

∵∠ONE＝∠ODE＝90⁰

OE＝OE

∴ΔONEΔODE

∴NE＝DE

∵BN＝BF

CD＝CG

∴BN＝CD

∴BN－EN＝CD－DE

∴BE＝CE

证法三：如图，连结OC，BC，OE，并延长OE交BC于N。

∵CF＝BC

∴OC⊥BF

∵AB⊥CG

∴E是ΔOCB的垂心(垂心－三角形三条高的交点)

∴ON⊥BC

∵OC＝OB

∴ON是BC边上的中线

∴EN是BC的中垂线

∴EC＝BE

证法四：连结OC交BF于N

∵CF＝BC

∴OC⊥BF

∵AB是⊙O的直径，CG⊥AB

∴BG＝BC

∴CF＝BG＝BC

∴BF＝CG

∴ON＝OD

∵OC＝OB

∴OC－ON＝OB－OD

∵CN＝BD

又∵∠CNE＝∠BDE＝90⁰

∠CEN＝∠BED

∴ΔCNE≌ΔBDE

∴CE＝BE

评析：(1)这个题目的结论是证明线段相等，四种证法体现了证线段相等的常用方法，这四个方法是：①利用等角对等边；②利用全等三角形；③等腰三角形三线合一；④等线段减等线段。

(2)注意体会关于弧的中点问题常作的辅助线，即“弧心圆心两相连”。

(3)几何难学难就难在思路分析，请注意一题多解，它不但可以提高我们分析问题的能力，而且是串联知识，体会定理用法的好形式。

2、ΔABC内接于⊙O，AO是半径，AD⊥BC于D。

求证：∠BAD＝∠OAC。

证法一：延长AO交⊙O于E，连结CE

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ACE＝90⁰，

又∵AD⊥BC＝90⁰

∴∠B＝∠E

∴∠ACE－∠E＝∠ADB－∠B

即∠BAD＝∠OAC

证法二：如图，作OE⊥AB交⊙O于E，交AB于F。

∵OE⊥AB

∴AE＝AB

∴∠AOE的度数＝AB的度数

∴∠C的度数＝AB的度数。

∴∠AOE＝∠C

∵AD⊥BC

∴∠OFA＝∠ADC＝90⁰

∴∠OFA－∠EOA＝∠ADC－∠C

即∠FAO＝∠DAC

∴∠FAO＝∠OAD＝∠DAC+∠OAD

∴∠BAD＝∠OAC

证法三：如图，连结OB，作OF⊥AB于F

∵AO＝OB

∴OF平分∠AOB

∴∠AOB和∠C同对AB。

∴∠C＝∠AOB，∴∠C＝∠AOF

∵AD⊥BC

∴∠AFO＝∠ADC＝90⁰

∴∠AFO－∠AOF＝∠ADC－∠C

∴∠FAO＝∠DAC

∴∠FAO+∠OAD＝∠DAC+∠OAD

∴∠FAD＝∠OAC

评析：①比例是关于圆周角，圆心角，直径上的圆周角，垂径定理等知识的应用题。注意所做的几种辅助线，是这几个知识点应用时常用到的。

②此例的几个证法体现了证角相等的常用方法――利用已知角的关系(角之间的相等关系，和差关系，倍分关系，互余关系，互补关系等)代换或计算。要证∠BAD＝∠CAO，作差后，即证：∠BAO＝∠CAD，然后构造直角三角形来解决是这个题的解决线索)

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；

90⁰的圆周角所对的弦是直径。

(注意：一条弦对两个圆周角。举例：若AB为⊙O中60⁰的弧，则弦AB所对的圆周角度数为　　　　　 。)

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

例题选讲：

1、如图AD为ΔABC高，AE为ΔABC外接圆直径。求证：ABAC＝AEAD

(求解此题，注意用两种方法及AB、AC、AD、AE四条线段的关系)

1、什么是圆周角？2、圆周角度量定理的内容是什么？

图(1)同弧对圆周角；

图(2)等弧对圆周角；

图(3)(4)在等圆中，BC＝DE∠A＝∠F

1、如图：OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC。

求证：∠ACB＝2∠BAC。

在⊙O中，∵∠ACB＝∠AOB，

∠BAC＝∠BOC

又∵∠AOB＝2∠BOC

∴∠ACB＝2∠BAC

课练：

(1)⊙O中，圆心角∠AOB＝100⁰，点C在劣弧AB上，点D在优弧AB上，

则∠ACB＝　　 ，∠ADB＝　　　　 。

(2)如图⊙O中，若AB的度数为56⁰，则∠AOB＝　　　　 ，∠ACB＝　　　 。

(3)如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BDC＝25⁰，则∠BOC＝　　　 ，AC的度数为

　　　　 度。

(4)等边ΔABC内接于⊙O，BD是直径，则∠BDC＝　　　 ，∠ACD＝　　　　 。若CD＝10cm，则⊙O的半径长为　　　　　　 。

小结：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。

圆周角(2)

学习目的：掌握圆周角定理的三个推论并能运用这些知识进行有关的证明。

重点难点：推论的应用。

教学过程：一、复习提问：

1、　 圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角。

我们发现，实际上每一个圆周角都有一个圆心角与之对应，而建立这一联系的桥梁就是它们所共同对着的那一条弧，圆周角的度数肯定要比它所对的弧的度数小，那么究竟圆周角和它所对应的一个圆心角度数之间有什么关系呢？

在⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，这个图我们应怎样画呢？

圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

已知：⊙O中，BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC

求证：∠BAC＝∠BOC

分析：如果圆心O在∠BAC的一边AB上(如图)，只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明。如果圆心O在∠BAC的内部或外部(如图)，那么只要作出直径AD，将这个角转化为上述情况的两个角的和或差即可。

证明：分三种情况讨论。

(1)如图(1)，圆心O在∠BAC的一条边上。

∵OA＝OC

∴∠C＝∠BAC

∵∠BOC＝∠BAC+∠C

∴∠BAC＝∠BOC。

(2)如图(2)中，圆心O在∠BAC的内部。作直径AD。利用(1)的结果，有

∠BAD＝∠BOD

∠DAC＝∠DOC

∴∠BAD+∠DAC＝(∠BOD+∠DOC)

∴∠BAC＝∠BOC

(3)如图(3)中，圆心O在∠BAC的外部。作直径AD。利用(1)的结果，有

∠DAB＝∠DOB

∠DAC＝∠DOC

∴∠DAC－∠DAB＝(∠DOC－∠DOB)

∴∠BAC＝∠BOC。

这样就得到了圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

例题选讲：

10、已知：如图，AB是半圆O的直径，CD⊥AB，垂足为D，点O₁在CD上，⊙O₁与⊙O切于点E，并与AB切于点D，AB＝6cm，CD＝cm，求弧BE、弧DE和BD所围成的图形的面积。(保留两个有效数字)

9、　 已知：如图，弓形弧ACB为120⁰，它所在圆的圆心为O，CD是弓形的高，以CD为直径

作⊙O₁，求证：⊙O₁的周长＝弧AB的长。

8、　 如图，已知，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝12，BE＝30，且BC＝AD，

求(1)DE的长；(2)由AC、BC与小圆劣弧AB围成的图形的面积。