27．如图1，已知中，，，过点作，且，连接交于点．

(1)求的长；

(2)以点为圆心，为半径作，试判断与是否相切，并说明理由；

(3)如图2，过点作，垂足为．以点为圆心，为半径作；以点为圆心，为半径作．若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围．

26．(本题8分)如图1，以矩形的两边和所在的直线为轴、轴建立平面直角坐标系，点的坐标为点的坐标为．将矩形绕点逆时针旋转，使点落在轴的正半轴上，旋转后的矩形为相交于点．

(1)求点的坐标与线段的长；

(2)将图1中的矩形沿轴向上平移，如图2，矩形是平移过程中的某一位置，相交于点，点运动到点停止．设点运动的距离为，矩形与原矩形重叠部分的面积为，求关于的函数关系式，并写出的取值范围；

(3)如图3，当点运动到点时，平移后的矩形为．请你思考如何通过图形变换使矩形与原矩形重合，请简述你的做法．

25．(本题7分)某校数学研究性学习小组准备设计一种高为60cm的简易废纸箱．如图1，废纸箱的一面利用墙，放置在地面上，利用地面作底，其它的面用一张边长为60cm的正方形硬纸板围成．经研究发现：由于废纸箱的高是确定的，所以废纸箱的横截面图形面积越大，则它的容积越大．

(1)该小组通过多次尝试，最终选定下表中的简便且易操作的三种横截面图形，如图2，是根据这三种横截面图形的面积与(见表中横面图形所示)的函数关系式而绘制出的图象．请你根据有关信息在表中空白处填上适当的数、式，并完成取最大值时的设计示意图；

横截面图形
与的函数关系式
取最大值时(cm)的值	30		20
取得的最大值	450
取最大值时的设计示意图

(2)在研究性学习小组展示研究成果时，小华同学指出：图2中“底角为的等腰梯形”的图象与其他两个图象比较，还缺少一部分，应该补画．你认为他的说法确吗？请简要说明理由．

24．(本题7分)如图，在与中，，

相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点相交于点．

(1)图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；(不添加任何辅助线)

(2)证明四边形是菱形；

(3)若使四边形是正方形，还需在的边长之间添加一个什么条件？请你写出这个条件．(不必证明)

23．(本题6分)某数学老师为了了解学生在数学学习中常见错误的纠正情况，收集了学生在作业和考试中的常见错误，编制了10道选择题，每题3分，对她所任教的初三(1)班和(2)班进行了检测．如图表示从两班各椭机抽取的10名学生的得分情况：

(1)利用图中提供的信息，补全下表：

(2)若把24分以上(含24分)记为“优秀”，两班各有60名学生，请估计两班各有多少名学生成绩优秀；

(3)观察图中的数据分布情况，你认为哪个班的学生纠错的整体情况更好一些？

22．(本题6分)如图1，分别表示边长为的等边三角形和正方形，表示直径为的圆．图2是选择基本图形用尺规画出的图案，．

(1)请你从图1中任意选择两种基本图形，按给定图形的大小设计一个新图案，还要选择恰当的图形部分涂上阴影，并计算阴影的面积；(尺规作图，不写作法，保留痕迹，作直角时可以使用三角板)

(2)请你写一句在完成本题的过程中感受较深且与数学有关的话．

21．(本题6分)元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：

纸环数(个)	1	2	3	4	……
彩纸链长度(cm)	19	36	53	70	……

(1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；

(2)教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少用多少个纸环？

20．(本题7分)某高校共有5个餐厅和2个小餐厅，经过测试：同时开放1个大餐厅、2个小餐厅，可供1680名学生就餐；同时开放2个大餐厅、1个小餐厅，可供2280名学生就餐．

(1)求1个大餐厅、1个小餐厅分别可供多少名学生就餐；

(2)若7个大餐厅同时开放，能否供全校的5300名学生就餐？请说明理由．

19．(本题6分)小明和小丽用形状大小相同、面值不同的5张邮票设计了一个游戏，将面值1元、2元、3元的邮票各一张装入一个信封，面值4元、5元的邮票各一张装入另一个信封．游戏规定：分别从两个信封中各抽取1张邮票，若它们的面值和是偶数，则小明赢；若它们的面值和是奇数，则小丽赢，请你判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由．

18．(本题5分)解方程．