27、(本小题满分12分)

解： (I)设点A(x₁，0),B(x₂，0)　 .

则x₁ ，x₂是方程 x²－mx+m－2＝0的两根.　　　　　　　　 　………1分

∵x₁ + x₂ ＝m ，　x₁·x₂ =m－2 ＜0 即m＜2　 ;　　　　　　 ………2分

又AB＝∣x_{1 －} x₂∣＝　 ,　　　　　　　　 ………3分

∴m²－4m+3=0　 .　　　　　　　　　　　　　　 　　　　………4分

解得：m=1或m=3(舍去)　 ,　　　　　　　 　　　　　　　………5分

∴m的值为1 .　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　………6分

(II)设M(a，b)，则N(－a，－b)　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵M、N是抛物线上的两点,

∴　　　　　　　　 ………7分

①+②得：－2a²－2m+4＝0 .

∴a²＝－m+2　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　………8分

∴当m＜2时，才存在满足条件中的两点M、N.

∴　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………9分

这时M、N到y轴的距离均为,　　 ………10分

又点C坐标为(0，2－m),而S_{△M N C} = 27 ,

∴2××(2－m)×=27　 .　　　　 ……　 11分

∴解得m=－7 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………12分

26、(本小题满分12分)

(I)证法一：

过点P作⊙O₁、⊙O₂的公切线FG，

连结CE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………1分　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　

在⊙O₁ 中，∠GPB＝∠A　 ,　　　　　　　　　　　　　　　　 ………2分

在⊙O₂中，∠GPB＝∠ECP　 ,　　　　　　　　　　　　　　 ………3分

∴∠A＝∠ECP　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

又∵∠ADP＝∠CEP,

∴△ADP∽△CEP　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　………5分

∴ .

即PA·PE＝PD·PC　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

证法二：

过点P作⊙O₁、⊙O₂的公切线FG，

连结DE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………1分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在⊙O₁ 中，∠GPB＝∠A　　 ,　　　　　　　　　　　　　　 ………2分

在⊙O₂中，∠GPB＝∠EDP　 ,　　　　　　　　　　　　　 ………3分

又∵四边形CDEP为⊙O₂ 的内接四边形,

∴∠ACP＝∠DEP　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

∴△ACP∽△DEP　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

∴　 .

即PA·PE＝PD·PC　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

(II)结论仍然成立.　　　　　　　　　　　　　　　 ………7分

证法一：

过点P作⊙O₁、⊙O₂的内公切线FG，

连结CE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………8分　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　

在⊙O₁　 中，∠FPB＝∠A　　 ,　　　　　

在⊙O₂中，∠GPE＝∠PCE　 ,　　　　

而∠GPE＝∠FPB　 ,

∴∠A＝∠PCE　　 .　　　　　　　　　　　　　　 ………10分

又∵∠ADP＝∠CEP ,

∴△ADP∽△CEP　　 .　　　　　　　　　　　 ………11分

∴ .

即PA·PE＝PD·PC　　 .　　　　 　　　　　　　　………12分

证法二：

过点P作⊙O₁、⊙O₂的内公切线FG，

连结DE.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………8分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在⊙O₁ 中，∠FPB＝∠A　 ,　　　　　　

在⊙O₂中，∠GPE＝∠PDE　 ,　　　　

而∠GPE＝∠FPB　 ,

∴∠A＝∠PDE　　　 .　　　　　　　　　 　　　　………10分

又∵∠ACP＝∠DEP　 ,

∴△ACP∽△DEP　 .　　　　　　　　　　　　 ………11分

∴ .

即PA·PE＝PD·PC　 .　　　　　　　　　　　　　 ………12分

25、(本小题满分10分)

(I)证明：由已知,得

∴△AED≌△CED　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………2分

∴∠AED＝∠CED　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………3分

又∵△AEC为等边三角形,

∴EF⊥AC　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

(II)解法一：

过G作GM⊥EF，垂足为M. 　　　　　　　　　　　　………5分

由已知和(Ⅰ) ，得　　　　

∠AED＝∠CED＝30^o，∠EAD＝15⁰ .

∴∠EDG＝45^o　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　∴MD＝GM　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分　　　　　　　　

设GM＝x,则DG＝.

在Rt△MEG中，EG＝2MG＝2x　 ,　　　　　　　 ………7分

∴EM＝　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………8分

∴ED＝+＝() .　　　　　　 　　………9分

∴.

即DE＝DG ( 或)　 .　 ……10分　　　　

解法二：

过E作EM⊥AD，垂足为M.　　　　　　　　　　　 ………5分

在Rt△MDE中,

∵∠EDM＝∠MED ＝45^o ,

∴EM＝DM　　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　

设EM＝DM＝x，

则DE＝x　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

在Rt△AEF中，cot30⁰＝,

∴DF＝AF＝　 .　　　　　　　　　　　　　 ………7分

∴AD＝.

＝　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………8分

∵△CDG∽△AME ,

∴.

即.

∴DG＝　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………9分

∴.

即 ( 或).　 ………10分

24、(本小题满分10分)

(I)证法一：

连结OQ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………1分

∵RQ是⊙O的切线,

　　　 ∴∠OQB+∠BQR＝90^O .　　　　　　　　　　　　　 ………2分

　　　 ∵OA⊥OB,

∴∠OPB+∠B ＝90^O .　　　　　　　　　　　　　　　 ………3分　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 又∵OB＝OQ,

　　　 ∴∠OQB＝∠B .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 ∴∠PQR＝∠BPO＝∠RPQ .　　　　　　　　　　　 ………4分

∴RP＝RQ　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

证法二：

作直径BC，连结CQ .　　 　　　　　　　　　　　　　　………1分

∵BC是⊙O的直径,

　　　 ∴∠B+∠C＝90^O　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………2分

　　　 ∵OA⊥OB,

　　　 ∴∠B+∠BPO＝90^O .

　　　 ∴∠C＝∠BPO　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………3分

又∠BPO＝∠RPQ,

∴∠C＝∠RPQ.

又 ∵RQ为⊙O的切线,

∴∠PQR＝∠C .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

∴∠PQR＝∠RPQ.

∴RP＝RQ　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

(II)解法一：

作直径AC.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

∵OP＝PA＝1,

∴PC＝3　 .　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　………7分　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由勾股定理，得BP＝＝ . ………8分

由相交弦定理，得PQ·PB＝PA·PC　　　 .　　　 ………9分

即PQ×＝1×3.

∴PQ＝　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………10分

解法二：

作直径AE，

过R作RF⊥BQ ，垂足为F .　　　　　　　　　　　 ………6分

设RQ＝RP＝x,

由切割线定理，得：x²＝(x－1)(x+3).

解得：x＝ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………7分

又由△BPO∽△RPF得 ：

　 ,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………8分

∴PF＝ .　　　　　　　　 ………9分

由等腰三角形性质得：PQ＝2PF＝.………10分

23、(本小题满分8分)

解：(I)

………4分(说明：每空1分)

(II)设经过x年每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8倍.

由图可知：

每位工人年平均工资增长1250元，

每位股东年平均利润增长12500元 ，　　　　　　 ………5分

所以 (5000+1250x)×8＝25000+12500x. ………6分

解得　 x＝6　 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………7分

　　　 答：到2006年每位股东年平均利润是每位工人年平均工资的8倍. ………8分

22、(本小题满分8分)

解法一：设，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………1分

则原方程可化为： .　　　　　　　　　　 ………2分

去分母,并整理得：y²－4y+3=0　 .　　　　　　　　　　 ………3分

解得：y₁=1， y₂=3 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

当y₁=1时，，解得 　；　　　

当y₂=3时， ，解得　 　.　　　　 　　………6分

经检验，x₁＝，x₂＝都是原方程的根.　　　 ………8分

解法二：

去分母，得：x²+3(1－x)²－4x (1－x)＝0 .　　　 ………2分

化简，得：8x²－10x+3＝0 .　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

解得：x₁＝，x₂＝ .　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

经检验，x₁＝，x₂＝都是原方程的根.　　 ………8分

21、(本小题满分6分)

解法一：

由已知，得　　　　　　　　 　………2分

两式相加，得：3a+3b＝10 .　　　　　　　 　　　　　　………5分

∴a+b＝.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

解法二：

由已知，得　　　　　　　　　　　 ………2分

解得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

∴.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

20、(本小题满分6分)

解法一：

原式＝(a³+a²b)－(ab²+b³)　　　　　　　　　　　　 ………1分

　　　　　　　　 ＝a²(a+b)－b²(a+b)　　　　　　　　　　　　　　　　 ………2分

　　　　　　　　 ＝(a+b)(a²－b²)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………4分

　　　　　　　　 ＝(a+b) (a+b) (a－b)　　　　 　　　　　　　　　　　　………5分

　　　　　　　　 ＝(a+b)²(a－b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

解法二：

原式＝(a³－ab²)+(a²b－b³)　　　　　　　　　　　　　　　 ………1分

＝a(a²－b²)+b(a²－b²)　　　　　　　　　　　　　　　 ………2分

＝(a²－b²)(a+b)　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　………4分

　　　 　　　　＝(a+b)(a－b)(a+b)　　　　　　　　　　　　　　　 ………5分

＝(a－b)(a+b)².　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ………6分

19、(本小题满分6分)

解：原式＝6× ………3分

＝　　　　　　　　　　　　　 ………5分

＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………6分

15、0　　　　 16、小于(填“＜ ”给满分 )　　 17、 8　　　　 18、1