5.　　　 如图所示的四个图被称作平面图。

⑴数一数每个图形中各有多少个顶点，多少条边，这些边围出了多少个互不重叠的区域，将结果填入下表

⑵观察上表，推断平面图的顶点A、边数N、区域数M之间的关系式；

⑶现已知某一个平面图有1001个顶点和1001个区域，试根据中推断出的关系式，确定这个图案有多少条边。

4.　　　 (格点问题)用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形。设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。

(1)上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式。

答：S=　　　　　　　　 。

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	2	2.5	3	4	…
各边上格点的个数和	4	5	6	8	…

(2)请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点。此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式是：S=　　　　　　　　 。

(3)请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？答：S=　　　　　　　　 。

2.　　　 我们知道，用尺规不能三等分角，借助如图所示的双曲线，便可以三等分一个角了。

(1)请你按照下面的步骤做出∠AOB的三等分线OM(图中OA与双曲线的交点为P)；

　　 ①以P为圆心，以2OP为半径作弧交双曲线于R(R在∠AOB内部)；②过点P作x轴的平行线，过点R做y轴的平行线，两直线相交于点M；再过点P作y轴的平行线，过点R做x轴的平行线，两直线相交于点N；③连接OM。

　　 (2)设点P、R的横坐标分别为p、r，求直线OM 的解析式，并判断点N是否在直线OM上(说明理由)；

　　 (3)证明：直线OM是∠AOB的三等分线。

27. 解: (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2)

∵A点在抛物线上, ∴C=－2

∵12a+5c=0,　 ∴a=　

由AB=2知抛物线的对称轴为: x=1

即:

∴抛物线的解析式为: 　　……………………3分

(2)①由图象知: PB=2－2t, BQ= t

∴S=PQ²=PB²+BQ²=(2－2t)² + t²

即 S=5t²－8t+4 (0≤t≤1) 　　　　……………………………………5分

②∵S=5t²－8t+4 (0≤t≤1)

∴S=5(t)² + (0≤t≤1)

∴当t=时, S取得最小值. 　　　…………………………………6分

假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.

这时PB=2=0.4,　 BQ=0.8,　 P(1.6, －2),　 Q(2, －1.2)　 ………7分

a、过Q作QR∥BP交抛物线于R。

当y=-1.2时，x₁=2.4，x₂=-0.4

∴R1(2.4,-1.2),R2(-0.4,-1.2)

∴QR1=0.4, QR1=2.4

∵BP=0.4

∴QR1=BP, QR2≠BP

此时有QR1PB,则四边形BPQR为平行四边形.

∴R的坐标为(2.4, －1.2)　　　　　　　 …………………………9分

b、过P作PR∥BQ交抛物线于R。

当x=1.6时,y=-2.4

∴R(1.6,-2.4)

∴PR=0.4

∵BQ=0.4

∴PR=BQ

此时有PR 　BQ,则四边形BQPR为平行四边形.

∴R的坐标为(1.6,-2.4)　　　　　 …………………………11分

c、过B作BR∥PQ交抛物线于R。

直线PQ:y=2x-5.2

直线BR:y=2x-6

则解得x₁=2，x₂=2.4

∴另一交点为(2.4,-1.2)

此时QR≠PB

则四边形BQPR不是平行四边形.　 …………………………12分

26、(1)证明：，

．

又，

．　　　　　 ………………………3分

．

．

．　　　　 ……………………………………5分

(2)直线与相切．　　　　 ……………………………………6分

连接．

为的直径，．

．

．

，．．

直线与相切．　　　　　　　　　　 …………………9分

25、(1)　 △ABC和△ABP、△AOC和△ BOP、△CPA和△CPB ；　　　 ………3分

　(2) △ABP　 ，　 因为平行线间的距离相等，所以无论点P在m上移动到任何位置，总有△ABP与△ABC同底等高，因此，它们的面积总相等．　 ； …5分

(3)方案设计及理由：

　 连接EC，过点D作DF∥EC，交CM于点F，连接EF，

EF即为所求直路位置．

　 设EF交CD于点H，由上面得到的结论可知：

　 S_ΔECF=S_ΔECD，S_ΔHCF=S_ΔEDH，所以_{S五边形ABCDE}=

S_{五边形ABCFE}，S_{五边形EDCMN}=S_{四边形EFMN}．

方案设计及理由得2分，作图得2分。

24、