第17章 函数及其图象，第26章 二次函数

(六) 学会分析方法：

如，函数中的待定系数

　 　　　　已知　　　

转化点　　　　　　　　　　 文字--符号

的坐标　　　　　　　　　　 几何条件

点的坐标　 已知的等量关系

代入函数　　　　　　　　　　 用系数的代数

解析式　　　　　　　　　　　 式表示 …

　　　　　 构造关于系数 ( 如，a、b ) 的方程

(如， 定c 待a 、b )　　 待定的系数越少越好

　　　　　　 定系数 ( 如，a、b、c ) 的值

　 求函数解析式(如，y = ax² + bx + c ( a ≠ 0 ) )

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文件名：2008年函数总复习分析

　 2008年函数总复习题

(五) 构造函数解析式中待定系数的方程的方法：

　　 1. 利用函数的定义(隐含它们最高项的系数 ≠ 0)

　 　　　　　　　　　　- 一次函数 　x的最高指数 = 1

　　　　　 函数定义 -- 二次函数 　x的最高指数 = 2　

　　　　　　　　　　　 - 反比例函数　 x的指数 = - 1

　 2. 函数图象上一点坐标满足函数解析式(注意转化点的坐标)

　　　 　[待定系数法构造关于“系数”方程的主要方法]

3. 利用题目的条件直接构造方程　

　[用含有待定系数的代数式表示点的坐标]

如，二次函数图象的顶点在x轴上(令 y = 0，Δ ≥ 0 ) 　例35

4. 利用几何中公式、定理做为等量关系构造方程　　　 例49

　　　 [用含有待定系数的代数式表示线段长]

　　　 如，面积公式、勾股定理、相似三角形对应边成比例　 等

5. 利用图形中的等量关系构造方程　 如， 线段和差等　 例25

(四) 对“点的坐标代入函数解析式”的认识

　 1. 将已知点的坐标代入函数解析式，构造有关系数的方程；

例33(1)(2)

　 2. 已知函数解析式及其图象上一点的某坐标，求这点的坐标 例33(3)

　　 [将点的坐标代入函数解析式，构造这点另一坐标的方程]

3. 已知函数解析式及图象上一点(a，b)，但a，b未知，求点坐标 　　　　　　　　　　　例15(7)

[将点的坐标代入函数解析式，构造关于a，b的方程]

[还须一个条件，构造关于a，b的另一个方程]

4. 函数解析式中有待定系数k，点的某坐标a不知道，求函数解析式及点的坐标

[将点的坐标代入函数解析式，构造关于a，k的方程] 　　　　例33(4)

5. 用函数解析式中待定系数a、b表示点的坐标，将点的坐标代入另一函数解析式，构造关于a，b的方程　 　　　　　　　　　　　　　　　　　

6. 求两个已知函数图象的交点坐标.

[解这两个函数解析式联立的二元一次方程组]

例30(2)(山东省潍坊课改实验区2007)

若M(，y₁)、N(，y₂)、P(，y₃)三点都在函数y=(k < 0)的图像上，则y₁ 、y₂ 、y₃ 的大小关系为　 (　　 )　　　　　　　　　　　　 　　　　

(A)y₂ > y₃> y₁

(B)y₂ > y₁> y₃

(C)y₃ > y₁> y₂

(D)y₃ > y₂> y₁

3. 反比例函数的应用　 　　　　例31

4. 相关的综合题　　　 　　　例32　　

例32 (2)(贵阳市课改实验区)如图，一次函数y= ax + b的图像与反比例函数y=的图象交于M、N两点

　　 1)求反比例函数和一次函数的解析式；

　2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围。

二次函数

[基本题型，基本方法]

1.　　　 二次函数解析式与它图象上的点[用方程思想] 　

　例33--例36

二次函数解析式的两种形式(注意隐含条件、优选解析式)：

y = ax² + bx + c ( a ≠ 0 )

y = a(x – h)² + k ( a ≠ 0 )　　 (已知对称轴、顶点)

例33 (4)　 抛物线 y = 2x² + bx – 5 过点A ( - 2, y_A )，则 y_A = 　　　　　

(6) 二次函数 y = ax² + bx + c的图象与 x 轴交于点A ( - 3, 0 )，

对称轴x = -1，顶点C到x轴的距离为2，则设 y = 　　　　　　　,

得方程为　　　　　　 ，解得　　　　　　 ，

此函数解析式为 　　　　　　　　　　.　 (优选顶点式)

2.　　 二次函数中的数形结合[用数形结合思想]

(依形判数，由数思形)

　 看二次函数的图象：

一看与 y 轴交点 ( 0, c )， 定常数项 c. 　　　例38

　　 二看图象的开口方向定 a 的符号：　　 　　　例37(1)(2)

开口向上　 a ＞ 0

　　　　　　　　　　 开口向下　 a ＜ 0

　 三看抛物线与 x 轴的相对位置：　　　 例37(4)　 例41

　　　　　　　　 抛物线与 x 轴有两个交点，⊿ ＞ 0；

　　　　　　　　 抛物线与 x 轴有一个交点，⊿ ＝ 0；

　　　　　　　　 抛物线与 x 轴无交点，　　 ⊿ ＜ 0.

　 四看抛物线对称轴与 y 轴的相对位置：　 　　　例40(1)

　　　　　　　　　 对称轴在 y 轴的左侧，a 、b 同号：

　　　　　　　　　 对称轴在 y 轴的右侧，a 、b 异号.

　　 五看图象的走向定函数的增减性：(以对称轴为界)　

　　　　　　　　　 左低右高　 y 随 x 增大而增大,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

左高右低　 y 随 x 增大而减小　

　　 六看部分图象对应的取值范围： 　　　　　　　例37(3) 　　　　　　　　

　 (图象端点向 x 轴引垂线，由垂足对应的数看 x 的取值范围)

　 (图象端点向 y 轴引垂线，由垂足对应的数看 y 的取值范围)　　

例38(沈阳市2007)如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、C三点.

(1)观察图象写出A、B、C三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；(定c待a、b)

(2)求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。

画二次函数图象　　 (略)

3．图形的移动(翻转，平移，旋转)　　 例42--例44

例42(1)(山东省潍坊课改实验区2007)抛物线y=ax²+bx+c如图所示，则它关于y轴对称的抛物线的解析式为　　　　　 。

4. 二次函数的应用　 　　　　　例45，例46

例45 (吉林省2007)如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距.某项研究表明，一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据：

(1)　　　　　　 求出h与d之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围)：

(2)　　　　　　 某人身高为196cm，一般情况下他的指距应是多少？

5. 相关的综合题 　　　　　　　　　　　例47--例52 　

例51下列图中阴影部分的面积与算式||+()² + 2^-1的结果相同的是　　 (　　　 )

二看图象的位置定函数的增减性：　

(三)对三类函数的理解(数形结合)

[知识要点]

结构　　 　　　形状

系数　　　　 　定向， 定轴

定点， 定增减性

一次函数

[基本题型，基本方法]

1. 一次函数的解析式与它图象上的点[用方程思想]

　 1)求函数解析式 　　　　　　　例15(1)(3)(4)(6)

　 [将点的坐标代入解析式，是构造关于“系数”方程的主要方法]

　 　[转化点的坐标是求函数解析式的重要方法]

求函数解析式的步骤：

一设 (优选函数解析式，尽量用概念定系数，

使待定的系数越少越好)

二构 (将点的坐标代入解析式，构造待定系数的方程或方程组，)

　 (用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组)

三解 (解方程或方程组)

四回代(将解出来的系数代入所设的函数解析式)

例15(3) 若一次函数图象过A (2, -1)和B两点，其中点B是另一条直线y = ﹣x + 3与y 轴的交点，求这个一次函数的解析式.　 　　　　　　

(定b待k)

　2)求点的坐标 　　　　　　例15(2)(4)(5)(6)(7)

例15(7) 已知 y = 3x – 2 的图象经过点( a，b )，且 a + b = 6，求a、b的值.　　　　　 　(b = 3a – 2)

2.　　　　　　　　 一次函数中的数形结合[用数形结合的思想]

(依形判数，由数思形)

看一次函数的图象　

一看与 y 轴交点 ( 0, b )， 定常数项 b。　　　 例16(1)

　 　二看图象的走向定 k的符号：左低右高　 k ＞ 0 　　

左高右低　 k ＜ 0　 同步练习册　 八册下　 P17.3

三看图象的走向定函数的增减性：　　　　　 例16(2)　

　　　 　左低右高　 y 随 x 增大而增大,　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　 　左高右低　 y 随 x 增大而减小

四看图象所在象限定k, b 符号：(略)　

　同步练习册　 八册下 　P17.1(2)

画一次函数的图象　 　　　　　　　　　　　　(例17略)

3．图形的移动(翻转，平移，旋转)

例19 ★★(河南省2007)如图甲，边长为2的正方形ABCD中，顶点A的坐标是(0，2)．一次函数y = x + t的图像l随t的不同取值变化时，位于l的右下方由l和正方形的边围成的图像面积为S(阴影部分)

(1)　　　 当t取何值时，S=3

(2)　　　 在平面直角坐标系下(如图乙)，画出S与t的图像。

　 　　　　　N

　　 M

　4. 与一次函数有关的实际问题 　　　　　　　例20--例24

例21 甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的关系如图所示(实线为甲的路程与时间的关系图像，虚线为乙的路程与时间的关系图像)，小王根据图像得到如下四个信息，其中错误的是：　 (　　 )

　　 (A) 这是一次1500米的赛跑

(B) 甲、乙两人中先到达终点的是乙

(C) 甲、乙同时起跑

(D) 甲在这次赛跑中的速度为5m/s

反比例函数

[基本题型，基本方法]

1. 反比例函数的解析式与它的图象上的点 　　例26，例27

例27 (1)(安徽省2007年) 近视眼镜的度数 y(度)与镜片焦距 x(米)成反比例. 已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式是　　　　 . (优选y = )

(2) 已知 y = ( 2 - m )x ^{m - 4}是反比例函数，则 m = 　　　, 此函数图象在第　　　 象限.　　 (优选y = kx ^{- 1}　 )

(3)(北京市海淀区2007年)已知反比例函数 　的图象经

过点(1，2)，则函数 y = - kx 可确定为(　 ). 　( 优选k = xy )

(A)y = - 2x 　(B) y = 　(C) 　(D)y = 2x

　　 2. 反比例函数中的数形结合(依形判数、由数思形)

看反比例函数图象： 　　　　　　　　例28--例30

一看图象的位置定 k的符号：

(二)对函数有关概念的理解

[知识要点]

1. 函数定义　 2. 函数的图象

[基本题型，基本方法]

1. 函数自变量取值范围

(1)解析式(使解析式有意义)　　　　　　 例11

(2)图象(图象端点向 x 轴引垂线，由垂足对应的数看 x 的取值范围)例16(1)

★★(3)列表(表中自变量取值)

★★(4)应用(使实际问题有意义)

2. 函数值(实质是求代数式的值)：　　　　　　　 例12(1)

3. 已知函数值，求自变量取值(实质是解方程)：　 例12(2)

4. 会画函数图象： 　　　　　　　　　　　　　　例17

　 会画直角坐标系(三要素：方向、原点、单位长度)； 会画函数图象：

一列表(不能取到的值加括号)

二描点(注意实心点与空心点)

　　 三连线 (注意直线、射线、线段的区别；曲线、曲线段的区别)

　　 四标解析式 (含自变量取值范围)

5. 会求函数图象上的特殊点的坐标：(并到三类函数)

　 (1)求与 y 轴的交点坐标， ( 0, c )　　　　 (看出来的)

　(2)求与 x 轴的交点坐标，　　　 　　　　　(算出来的)

1)　　　 ( x₁,0 ),( x₂,0 ) 令 y = 0 解方程解出来的，(Δ ≥ 0)

　　 　2) 已知( x₁,0 )及对称轴，由对称性得( x₂,0 ) (推出来的)

(一)对直角坐标系的理解[数形结合]

[知识要点]

1. 特殊位置的点的坐标特点

各象限内的点, 坐标轴上的点　 　　　例1，例2，例3，例4

[点所在区域决定点坐标的正、负、零,

点到轴的距离决定点坐标的绝对值]

　　 公式:　 　点到 x 轴的距离　　 =　　　 | y |

　　　　　　 点到 y 轴的距离　　 =　　　 | x |

　　　　　　 　(垂线段的长)　　　 =　　 (点坐标的绝对值)

　　　 　　　　几何(线段)　　 　　　　　函数(坐标)　　　　 　　

[转化为线段长用几何知识；转化为点的坐标用函数知识]例25

　　　 例25 如图，点 A在第二象限内，点 B 在 x 轴负半轴上，若 ∠ABO = 45°，∠AOB = 60°，OA = 6，求经过A、B两点的直线的解析式.

各象限角平分线上的点

[利用坐标间的数量关系构造方程]　　　 例5，例7(2)

　　　 第1、3象限角平分线上的点( x、y )　　　 x = y　　　　

　　　 第2、4象限角平分线上的点( x、y )　　　 x = - y　

例7(2) 点P坐标为 ( 2 - a，3a + 6 )，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是( D ).

　(A)(3，3)　 　　 　　　　　(B)(3，-3)　

　(C)(6，-6)　 　　　　　 (D)(3，3) 或 (6，-6)

　　 2. 两个具有特殊位置的点的坐标间的数量关系 　例6

　　　 (1)对称性　　　　　 　(2)平行　　　　

　 　[利用坐标间的数量关系构造方程]

[基本题型，基本方法]

1.　　　　　　　　　 已知点的坐标 ★ 会求点到坐标轴的距离, 　　

会求同一坐标轴上两点间的距离.　　　　　　　　　　

　　 会求两坐标轴上两点间的距离, 会求点到原点的距离，会求仅有一点在坐标轴上的两点间的距离 (用勾股定理)

　★ 由已知点的坐标求有关对称点的坐标　　 　　　　　　例6

　★ 求图形变换后点的坐标，会用点的坐标刻化点的移动. 　例10　

2. 画点的坐标：(略)

3. 求点的坐标：

(1)　 定域定量法：　　　　　　　　　 例7(1)　 　　

(2) 构造方程法： 　　　　　　　　　例5，例7(2)

(3) 图象交点法：　　　　　

(4) 观察图象法(含估算)

1)　 观察点的坐标：　　　 　例16，例28(2)，例38等等

2)　 观察已知点有关对称点的坐标：　　 例6

3)　 观察函数图象与坐标轴交点的坐标：例16(1)，例38，　　　　　　　

例39

4)　 观察两个函数图象交点的坐标：　　 例32(2)

5)　 观察点的坐标，求函数解析式：　 　例28(2)