4.根据与系数的关系,求与方程的根有关的代数式的值.

　 　例4　 (2004·河北)若x₁,x₂是一元二次方程2x²-3x+1=0的两个根,则x₁²+x₂²的值是(　 )

　　 A. 　　　　B. 　　　　C. 　　　　D.7

　　 分析:本题解法不唯一,可先解方程求出两根,然后代入x₁²+x₂²,求得其值.但一般不解方程,只要将所求代数式转化成含有x₁+x₂和x₁x₂的代数式,再整体代入.

　　 解:由根与系数关系可得x₁+x₂=,x₁·x₂=,x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁·x₂=()²-2× =.

　　 答案:A.

　　 点评:公式之间的恒等变换要熟练掌握.

3. 解一元二次方程

　　 例3 　(2004·四川)解方程:x²+3x=10.

　　 分析:根据方程的特点,可用公式法求解.

　　 解:原方程就是x²+3x-10=0,

　　 这里a=1,b=3,c=-10.

　　 b²-4ac=3²-4×1×(-10)=49.

　　 ∴x=.

　　 ∴x₁=2,x₂=-5.

　　 点评:要根据方程的特点灵活选用方法解方程.

2.由方程根的情况求字母系数的取值范围

　　 例2　 (2004·重庆)若关于x的一元二次方程x²+x-3m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是(　 )

　　 A.m>　　　 B.m<　　　 C.m>-　　　 D.m<-

　　 分析:因为该方程有两个不相等的实数根,所以应满足△>0.

　　 解:由题意,得△=1²-4×1×(-3m)>0,

　　 解得 m>-.

　　 答案:C.

1.了解方程判定方程根的情况

　 　例1 　(2004·武汉)一元二次方程4x²+3x-2=0的根的情况是(　 ).

　　 A.有两个相等的实数根;　　 B.有两个不相等的实数根

　　 C.只有一个实数根;　 　　　　D.没有实数根

　　 解析:因为△=3²-4×4×(-2)>0,所以该方程有两个不相等的实数根.

　　 答案:B.

4.一元二次方程的应用

　　 解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.

3.根与系数的关系(韦达定理)的应用

　　 韦达定理:如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=-,x_1·x₂=.

　　 (1)已知一根求另一根及未知系数；

　　 (2)求与方程的根有关的代数式的值;

　　 (3)已知两根求作方程;

　　 (4)已知两数的和与积,求这两个数;

　　 (5)确定根的符号:(x₁,x₂是方程两根).

　　 有两正根

　　 有两负根

　　 有一正根一负根

　　 有一正根一零根

　　 有一负根一零根

　　 x₁=x₂=0

　　 应用韦达定理时,要确保一元二次方程有根,即一定要判断根的判别式是否非负;求作一元二次方程时,一般把求作方程的二次项系数设为1,即以x₁、x₂为根的一元二次方程为x²-(x₁+x₂)x+x₁x₂=0;求字母系数的值时,需使二次项系数a≠0,同时满足△≥0;求代数式的值,常用整体思想,把所求代数式变形成为含有两根之和x₁+x₂,两根之积x₁x₂的代数式的形式,整体代入.

2.根的判别式及应用(△=b²-4ac)

　　 (1)判定一元二次方程根的情况.

　　 △>0有两个不相等的实数根;

　　 △=0有两个相等的实数根;

　　 △<0没有实数根;

　　 △≥0有实数根.

　　 (2)确定字母的值或取值范围.

　　 应用根的判别式,其前提为二次系数不为0;考查时,经常和根与系数的关系、函数知识相联系、判别根的情况常用配方法.

1.灵活运用四种解法解一元二次方程

　　 一元二次方程的一般形式:a²x+bx+c=0(a≠0)

　　 四种解法:直接开平方法,配方法,公式法, 因式分解法,公式法:

　　 x= (b²-4ac≥0)

　　 注意:掌握一元二次方程求根公式的推导;主要数学方法有:配方法,换元法,“消元”与“降次”.

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　　 │　　　 │　　　　　　　　　　　 │　　 知识与技能目标　　 │

　　 │ 考点 │　　 课标要求　　　 　├──┬──┬──┬───┤

　　 │　　　 │　　　　　　　　　　　 │了解│理解│掌握│灵活应用

　　 ├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤

　　 │　　　 │了解一元二次方程的定义│ ∨ │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　　　 │及双重性　　　　　　　 │　　 │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　 一　 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤

　　 │　 元　 │掌握一元二次方程的四种│　　 │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　 二　 │解法,并能灵活运用　　 │　　 │　　 │ ∨ │　 ∨　 │

　　 │　 次　 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤

　　 │　 方　 │掌握一元二次方程根的判│　　 │ ∨ │ ∨ │　 ∨　 │

　　 │　 程　 │别式,并能运用它解相应 │　　 │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　　　 │问题　　　　　　　　　 │　　 │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　　　 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤

　　 │　　　 │掌握一元二次方程根与系│　　 │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　　　 │数的关系,会用它们解决 │　　 │ ∨ │ ∨ │　 ∨　 │

　　 │　　　 │有关问题　　　　　　　 │　　 │　　 │　　 │　　　 │

　　 │　　　 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤

　　 │　　　 │会解一元二次方程应用题│　　 │　 　│ ∨ │　　　 │

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23．解：解方程，

得，

∵原方程有两个不相等的整数根，∴2m+1为完全平方数，

又∵m为整数，且4<m<40,

∴m=12或24。

∴当m=12时，，；

当m=24时，