2.计算: =____________.

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,则sinB=______,tanA=_______.

24]正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：

仿上面图示的方法，及韦达下列问题：

　操作设计：

　(1)如图(2)，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。

(2)如图(3)对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。

答案：(1)　　　　

(2)略。

[25]如图，⊙O表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.

(1)请你在⊙O中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法).

(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.

(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？

答案：(1)由图知六边形各内角相等.

(2) 七边形是正七边形.

(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形.

[26]如图，若把边长为1的正方形ABCD的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A₁B₁C₁D₁.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的，请说明理由(写出证明及计算过程).

答案：剪法是：当AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=或时，

四边形A₁B₁C₁D₁为正方形，且S=.

在正方形ABCD中，

AB=BC=CD=DA=1，

∠A=∠B=∠C=∠D=90°.

∵AA₁=BB₁=CC₁=DD₁，

∴A₁B=B₁C=C₁D=D₁A.

∴△D₁AA₁≌△A₁BB₁≌△B₁CC₁≌△C₁DD₁.

∴D₁A₁=A₁B₁=B₁C₁=C₁D₁，

∴∠AD₁A₁=∠BA₁B₁=∠CB₁C₁=∠DC₁D₁.

∴∠AA₁D+∠BA₁B₁=90°，即∠D₁A₁B₁=90°.

∴四边形A₁B₁C₁D₁为正方形.设AA₁=x，

则AD₁=1－x.

∵正方形A₁B₁C₁D₁的面积=，

∴S_△AA1D1=

即x(1－x)=，

整理得9x²－9x+2=0.

解得x₁=，x₂=.

当AA₁=时，AD₁=，

当AA₁=时，AD₁=.

∴当AA₁=BB₁=CC₁=DD₁=或时，

四边形A₁B₁C₁D₁仍为正方形且面积是原面积的.

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22]电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。(不计切割损耗)

答案：可以切割出66个小正方形。　　　　　　　　　　　　　　　　　

方法一：

(1)我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD。

∵AB＝1　　 BC＝10

∴对角线＝100+1＝101＜　　　　　　　　　　　　　　　 　

(2)我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形。

∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线＜。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：

＞　　　　　　　　　　　　　　 　

(3)同理：＜

　　　　　 ＞

　　 ∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　

(4)再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。

∵＜

＞ 　　　　　　　　　　　　　　

(5)在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。

∵＜

＞

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。

∴10+2×9+2×8+2×7+2×4＝66(个)　　　　　　　　　　　　 　

方法二：

学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。

可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后：

(1)上下再加一层，每层8个，现在共有6层。

(2)在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。

(3)最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。

这样共有：4×9+2×8+2×6+2×1＝66(个)

[23]在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH(见方案一)，张丰同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠DAC，∠ACF=∠ACB的方法得到菱形AECF(见方案二)，请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？

答案：(方案一)

　　　 (方案二)

设BE=x，则CE=12-x　

由AECF是菱形，则AE²=CE²

比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.

21]用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.

　(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.

(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.

答案：(1)如图

(2)由题可知AB＝CD＝AE，又BC＝BE＝AB+AE

∴BC＝2AB，　即

由题意知　是方程的两根

∴　

消去a，得　　　

解得　或

经检验：由于当，，知不符合题意，舍去.

符合题意.

∴　　　　　

答：原矩形纸片的面积为8cm².　

19]将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G(如图).

(1)如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

(2)如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

答案：(1)先求出DE=，，后证之.

(2)注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关.

18]如图，一张矩形报纸ABCD的长AB＝a cm，宽BC＝b cm，E、F分别是AB、CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于(　 　)．

　A．　　　　 B．　　　　　 C．　　　 D．

答案：A

17]从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是(　　 )　

A.a² – b² =(a +b)(a -b)　　　　 B.(a – b)² = a² –2ab+ b²　　　　

C.(a + b)² = a² +2ab+ b²　　　　 D.a² + ab = a (a +b)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

答案：A

[15]亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”

答案：180

16]如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则与 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是(　　 )

　　 A. 　　　 B.

C. 　　 D.

答案：B