2．对顶角相等，但不互补；邻补角互补，但不相等………………………………(　)

1．把一个角的一边反向延长，则可得到这个角的邻补角………………………(　)

(五)证明题(每题6分，共24分)

27．已知：如图．AB∥CD，∠B＝∠C．求证：∠E＝∠F．

　 (27)　　　　　　　　　 (28)　　　　　　　　 (29-1)

[提示]证明AC∥BD．[答案]证明：∵　AB∥CD(已知)，

∴　∠B＝∠CDF(两直线平行，同位角相等)．

∵　∠B＝∠C(已知)，　 ∴　∠CDF＝∠C(等量代换)．

∴　AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．

∴　∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等)．

28．已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．求证：EF平分∠BED．

[提示]由AC∥DE．DC∥EF证∠1＝∠3．由DC∥EF证∠2＝∠4．再由CD平分∠BCA，即可证得∠3＝∠4．

[答案]证明：∵　AC∥DE(已知)，∴　∠1＝∠5(两直线平行，内错角相等)．

同理∠5＝∠3．　　　　　　　　 ∴　∠1＝∠3(等量代换)．

∵　DC∥EF(已知)，　　　　　 ∴　∠2＝∠4(两直线平行，同位角相等)．

∵　CD平分∠ACB，　　　　　 ∴　∠1＝∠2(角平分线定义)，

∴　∠3＝∠4(等量代换)，　　 ∴　EF平分∠BED(角平分线定义)．

29．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．

[提示]过点E作EF∥AB，证明∠BED＝90°．

[答案]证明：过点E作EF∥AB．

∴　∠BEF＝∠B(两直线平行，内错角相等)．

∵　∠B＝∠1，　 ∴　∠BEF＝∠1(等量代换)．

同理可证：∠DEF＝∠2．

∵　∠1+∠BEF+∠DEF+∠2＝180°(平角定义)，

即2∠BEF+2∠DEF＝180°，

∴　∠BEF+∠DEF＝90°(等式性质)．

即∠BED＝90°．　　 ∴　BE⊥DE(垂直的定义)．

30．已知：如图，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论．

[提示]结论：∠B+∠E＝∠D．过点E作EF∥AB．

[答案]结论：∠B+∠E＝∠D．

证明：过点E作EF∥AB，

∴　∠FEB＝∠B(两直线平行，内错角相等)．

∵　AB∥CD，EF∥AB，

∴　EF∥CD(平行公理推论)，

∴　∠FED＝∠D(两直线平行，内错角相等)．

∵　∠FED＝∠FEB+∠BED＝∠B+∠BED，

∴　∠B+∠BED＝∠D(等量代换)．

本题还可添加如图所示的辅助线，请你证明∠B+∠E＝∠D．

[点评]这是一道探索结论型的问题．要通过对直观图形仔细观察，大胆猜想，设定结论，再进行推理，验证结论．直观图形是观察思考的依据，准确的直观图形可引发正确的直觉思维．所以作图不可忽视．直觉思维是正确，还必须用相关的理论来验证．这样得到的结论方可靠．

23．如图，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度数．

[提示]由AB∥CD，∠ABC＝50°可得∠BCD＝50°．

由PN∥CD，∠CPN＝150°，可得∠PCD＝30°．

∴　∠BCP＝∠BCD－∠PCD＝50°－30°＝20°．[答案]20°．

24．如图，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE的度数．

[提示]由AC∥PD，∠CAB＝100°，可得∠APD＝80°．

同理可求∠BPE＝70°．

∴　∠DPE＝180°－∠APD－∠BPE＝180°－80°－70°＝30°．[答案]30°．

25．如图，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．

求∠PAG的度数．

　　　　 (25)　　　　　　　　　 (26-1)　　　　　　　 (26-2)

[提示]由DB∥FG∥EC，可得

∠BAC＝∠BAG+∠CAG　 ＝∠DBA+∠ACE　 ＝60°+36°＝96°．

由AP平分∠BAC得∠CAP＝∠BAC＝×96°＝48°．

由FG∥EC得∠GAC＝ACE＝36°．∴　∠PAG＝48°－36°＝12°．[答案]12°．

26．如图，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．

[提示]过点E作EG∥AB．∵　AB∥CD由平行公理推论可得EG∥CD．

由此可求得∠AEC的度数．由平角定义可求得∠3的度数．[答案]75°．

(四)解答题(本题5分)

22．根据命题“角平分线上的点到角的两边距离相等”，画出图形，并结合图形写出已知、求证(不证明).

[答案]已知：OC平分∠AOB，P是OC上任意一点．PD⊥OB，PE⊥OA，垂足分别是D、E．求证：PE＝PD．

　　　 (22)　　　　　　　　 (23)　　 　　　　　(24)

(三)选择题(每小题3分，共21分)

15．如图，已知直线AB与CD相交于点O，OE⊥CD．垂足为O，则图中∠AOE和

∠DOB的关系是(　)(A)同位角 (B)对顶角 (C)互为补角 (D)互为余角

[提示]由OE⊥CD，知：∠AOE与∠AOC互余．∠AOC与∠BOD是对顶角．所以∠AOE与∠DOB互为余角．[答案]D．

16．如图，CD⊥AB，垂足为D，AC⊥BC，垂足为C．图中线段的长能表示点到直线(或线段)距离的线段有…(　)(A)1条　 (B)3条　 (C)5条　　 (D)7条

[提示]CD的长表示点C到AB的距离；AC的长表示点A到BC的距离；BC的长表示点B到AC的距离；AD的长表示点A到CD的距离，BD的长表示点B到CD的距离．共5条．[答案]C．

17．若AO⊥BO，垂足为O，∠AOC︰∠AOB＝2︰9，则∠BOC的度数等于……(　)

(A)20°　 (B)70°　 (C)110°　 (D)70°或110°

[提示]OC可在∠AOB内部，也可在∠AOB外部，如图可示，故有两解．

设∠AOC＝2x°，则∠AOB＝9x°．

∵　AO⊥BO，　 ∴　∠AOB＝90°．

∵　9x＝90°，x＝10°，∠AOC＝2x＝20°．

(1)∠BOC＝∠AOB－∠AOC＝90°－20°＝70°；

(2)∠BOC＝∠AOB+∠AOC＝90°+20°＝110°．

[答案]D．

18．下列命题中，真命题是……………………………………………………………(　)

(A)同位角相等工　 (B)同旁内角相等，两直线平行

(C)同旁内角互补　 (D)同一平面内，平行于同一直线的两直线平行

[提示]两直线不平行，则同位角不相等，同旁内角不互补，所以A、C错误，B也不一定成立．如图所示直线a、b被直线c所截．∠1＝∠2，∠3＝∠4．显然a与b不平行．

　　　 (18)　　　　　　　　 (20)　　　　　　　 (21)

[答案]D．

19．直线AB∥CD，且与EF、GH相交成如图可示的图形，则共得同旁内角…(　)

(A)4对　 (B)8对　 (C)12对　 (D)16对

[提示]该图可分离出四个基本图形，如图所示．

第三条直线截两平行线，此时图形呈“”型，有同旁内角两对；

第三条直线截两相交线，此时图形呈“”型，有同旁内角六对．

故图中共有同旁内角2×2+6×2＝16(对)．　　 [答案]D．

20．如图，AD∥EF∥BC，且EG∥AC．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个数是……(　)(A)2　 (B)4　 (C)5　 (D)6

[提示]由AD∥EF∥BC，且EG∥AC可得：

∠1＝∠DAH＝∠FHC＝∠HCG＝∠EGB＝∠GEH除∠1共5个．[答案]C．

21．某人从A点出发向北偏东60°方向速到B点，再从B点出发向南偏西15°方向速到C点，则∠ABC等于……………………………………………………………(　)

(A)75°　 (B)105°　 (C)45°　 (D)135°

[提示]按要求画出图形再计算

∵　NA∥BS，　　　 ∴　∠NAB＝∠SBA＝60°．

∵　∠SBC＝15°，　 ∴　∠ABC＝∠SBA－∠SBC＝60°－15°＝45°．[答案]C．

(二)填空题(每小题2分，共18分)

6．如图，当∠1＝∠　　　 时，AB∥DC；当∠D+∠　　　 ＝180°时，AB∥DC；当∠B＝∠　　 时，AB∥CD．

　　　 (6)　　　　　　　　　　　 (7)　　　　　　　　　　　 (8)

[提示]把题中的“AB∥CD”视作条件去找∠1的内错角、∠D的同旁内角和∠B的同位角．即得要填的角．[答案]4，DAB，5．

7．如图，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝60°，∠EDA＝50°．则∠CDF＝　　　 ．

[提示]由AB∥CD，得∠DCF＝∠B＝60°，

由AD∥BC得∠ADC＝∠DCF＝60°，

∴　∠ADE+∠ADC＝50°+60°＝110°，

∴　∠CDF＝180°－110°＝70°．　　　 [答案]70°．

8．如图，O是△ABC内一点，OD∥AB，OE∥BC，OF∥AC，∠B＝45°，∠C＝75°，则∠DOE＝　　　 ，∠EOF＝　　　 ，∠FOD＝　　　 ．

[提示]由OD∥AB，∠B＝45°，得∠ODC＝∠B＝45°．

由OE∥DC，∠DOE+∠ODC＝180°，∴　∠DOE＝180°－45°＝135°．

同理可求∠EOF＝105°．由周角的定义可求∠FOD＝120°．

[答案]135°，105°，120°．

9．两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少20°．则这两个角的度数分别是　　　　 ．

[提示]如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．

设一个角为x度．则另一个角为(3x－20)度．

依据上面的性质得，

3x－20＝x，或3x－20+x＝180°．

∴　　　　　　　 　x＝10，或x＝50．

当x＝50时，3x－20＝3×50－20＝130．

[答案]10°、10°或50°、130°．

[点评]通过列方程(或方程组)解题是几何计算常用的方法．

10．如图，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D＝192°，

∠B－∠D＝24°，则∠GEF＝　　　 ．

　　　 (10)　　　　　　　　　 (11)

[提示]由AB∥EF∥CD，可知∠BED＝∠B+∠D．

已知∠B+∠BED+∠D＝192°．

∴　2∠B+2∠D＝192°，∠B+∠D＝96°．

又　 ∠B－∠D＝24°．

于是可得关于∠B、∠D的方程组解得　　 　∠B＝60°．

由AB∥EF知∠BEF＝∠B＝60°．因为EG平分∠BEF，所以∠GEF＝∠BEF＝30°．

[答案]30°．

11．如图，AD∥BC，点O在AD上，BO、CO分别平分∠ABC、∠DCB，若

∠A+∠D＝m°．则∠BOC＝______．

[提示]由AD∥BC，BO平分∠ABC，可知∠AOB＝∠CBO＝∠ABC．

同理∠DOC＝∠BCO＝∠DCB．

∵　 AD∥BC，∴　∠A+∠ABC＝180°，∠D+∠DCB＝180°，

∴　∠A+∠D+∠ABC+∠DCB＝360°．

∵　∠A+∠D＝m°，∴　∠ABC+∠DCB＝360°－m°．

∴　∠AOB+∠DOC＝(∠ABC+∠DCB)＝(360°－m°)＝180°－m°．

∴　∠BOC＝180°－(∠AOB+∠DOC)＝180°－(180°－m°)＝m°．

[答案]m°．

12．有一条直的等宽纸带，按图(1)折叠时，纸带重叠部分中的∠a＝度．

[提示]裁一张等宽纸带按图示折叠，体会一下题目的含义．将等宽纸带展平，便得图(2)．由此图可知∠DAC＝30°．AB是∠C′AC的平分线．∴　∠a＝75°．[答案]75°．

　　 图(2)　　　　　　　　　　　　　 图(1)

[点评]解类似具有操作性的实际问题时，不妨动手做一做，从中感受一下题目的意义，进而将实际问题转化成数学问题．用数学知识解决实际问题．这样做不仅能培养我们抽象思维和空间想象能力，而且能提高我们解决实际问题的能力．

13．把命题“在同一平面内垂直于同一直线的两直线互相平行”写成“如果…那么…”的形式是：如果______________，那么_____________．

[答案]在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，这两条直线互相平行．

14．如图，在长方体中，与面BCC′B′平行的面是面；与面BCC′B′垂直的面是，与棱A′A平行的面有，与棱A′A垂直的面有．

(15)

[答案]面ADD′A；面ABB′A′，面ABCD，面A′B′C′D′，面DCC′D′；

面DCC′D′，面BCC′B′；面ABCD，面A′B′C′D′．

(一)判断题(每题2分，共10分)

1．过线段外一点画线段的中垂线……………………………………………………(　)

[提示]线段外一点不一定在线段的中垂线上，所以过线段外一点画线段的垂线，不一定平分这条线段如图PQ⊥AB，垂足为O．但PQ不平分AB．[答案]×．

　　　　 (1)　　　　　　　　　 (2)　　　　　　　　　　 (3)

2．如果两个角互为补角，那么它们的角平分线一定互相垂直……………………(　)

[提示]两个角互为补角时，这两个角可以是邻补角，也可以不是邻补角．当两角互补但不是邻补角时，则它们的角平分线不互相垂直．如图：∠AOB与∠AOC互补，OM平分∠AOC、ON平分∠AOB．显然OM与ON不垂直．[答案]×．

3．两条直线不平行，同旁内角不互补………………………………………………(　)

[提示]如图，AB与CD不平行，EF与AB交于点G．与CD交于点H．

过点G作PQ∥CD．

∴　∠QGF+∠GHD＝180°．

∵　∠BGF＜∠QGF，

∴　∠BGF+∠GHD＜180°；

又　 ∠PGH+∠GHC＝180°，

∵　∠AGH＞∠PGH，

∴　∠AGH+∠GHC＞180°．

即两直线不平行，同旁内角不互补．[答案]√．

4．错误地判断一件事情的语句不叫命题…(　)

[提示]判断一件事情的语句叫做命题．错误地判断得到的是假命题．假命题也是命题．

[答案]×．

5．如图，AB∥CD，那么∠B+∠F+∠D＝∠E+∠G…………………………(　)

[提示]过点E、F、G分别画EP∥AB，PQ∥AB，GM∥AB．

则AB∥EP∥FQ∥GM∥CD．

∴　∠B＝∠1，∠3＝∠2，∠4＝∠5，∠D＝∠6．

∴　∠B+∠3+∠4+∠D＝∠1+∠2+∠5+∠6．

即∠B+∠EFG+∠D＝∠BEF+∠FG(D)　 [答案]√．

(五)证明题(每题6分，共24分)

27．已知：如图．AB∥CD，∠B＝∠C．求证：∠E＝∠F．

28．已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．求证：EF平分∠BED．

29．已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．

30．已知：如图，AB∥CD，请你观察∠E、∠B、∠D之间有什么关系，并证明你所得的结论．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 相交线、平行线答案

23．如图，AB∥CD∥PN，∠ABC＝50°，∠CPN＝150°．求∠BCP的度数．

24．如图，∠CAB＝100°，∠ABF＝110°，AC∥PD，BF∥PE，求∠DPE的度数．

25．如图，DB∥FG∥EC，∠ABD＝60°，∠ACE＝36°，AP平分∠BAC．

求∠PAG的度数．

26．如图，AB∥CD，∠1＝115°，∠2＝140°，求∠3的度数．