5．(14分)如图，⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，点D是劣弧的中点，连

结AD并延长，与过C点的切线交于P，OD与BC相交于点E．(1)求证OE＝AC；

*(2)求证：＝；(3)当AC＝6，AB＝10时，求切线PC的长．

[提示](1)因为AO＝BO，可证OE为△ABC的中位线，可通过证OE∥AC得到OE为中位线；(2)连结CD，则CD＝BD，可转化为证明＝．先证△PCD∽△PAC，得比例式＝，两边平方得＝，再结合切割线定理可证得＝＝；(3)利用(2)可求DP、AP，再利用勾股定理、切割线定理可求出PC的长．

(1)[略证]∵　 AB为直径，∴ ∠ACB＝90°，

即　 AC⊥BC．∵　 D为的中点，由垂径定理，得

　 OD⊥BC．∴　 OD∥AC．又∵　 点O为AB的中点，∴　 点E为BC的中点．∴　 OE＝AC．

*(2)[略证]连结CD．∵　 ∠PCD＝∠CAP，∠P是公共角，∴　 △PCD∽△PAC．∴　 ＝．

∴　 ＝．又　 PC是⊙O的切线，∴　 PC²＝PD·DA．∴　 ＝，

∴　 ＝．∵　 BD＝CD，∴　 ＝．

(3)[略解]在Rt△ABC中，AC＝6，AB＝10，∴　 BC＝＝8．∴　 BE＝4．

∵　 OE＝＝3，∴　 ED＝2．则在Rt△BED中，BD＝＝2，

在Rt△ADB中，AD＝＝4．∵　 ＝，

∴　 ＝．

解此方程，得　 PD＝5，AP＝9．又　 PC²＝DP·AP，

∴　 PC＝＝15．

29．(12分)已知：如图，⊙O₁与⊙O₂内切于点P，过点P的直线交⊙O₁于点D，交⊙O₂于点E；DA与⊙O₂相切，切点为C．*(1)求证PC平分∠APD；(2)若PE＝3，PA＝6，求PC的长．

[提示](1)过点P作两圆的公切线PT，利用弦切角进行角的转换；在(2)题中，可通过证△PCA∽△PEC，得到比例式＝，则可求PC．

*(1)[略证]过点P作两圆的公切线PT，连结CE．∵　 ∠TPC＝∠4，∠3＝∠D．

∴　 ∠4＝∠D+∠5，∴　 ∠2+∠3＝∠D+∠5．∴　 ∠2＝∠5．

∵　 DA与⊙O相切于点C，∴　 ∠5＝∠1．∴　 ∠1＝∠2．即PC平分∠APD．

(2)[解]∵　 DA与⊙O₂相切于点C，∴　 ∠PCA＝∠4．

由(1)，可知∠2＝∠1．∴　 △PCA∽△PEC．

∴　 ＝．即　 PC²＝PA·PE．∵　 PE＝3，PA＝6，∴　 PC²＝18．∴　 PC＝3．

28．(8分)如图，已知ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证＝．

[提示]连结AC，证△ABC∽△FDC．显然∠FDC＝∠ABC．因为AD⊥直径EB，由垂径定理得＝，故∠DAB＝∠ACB．又因为∠FCD＝∠DAB，所以

∠FCD＝∠ACB，故△ABC∽△FDC，则可得出待证的比例式．

[略证]连结AC．∵　 AD⊥EB，且EB为直径，∴　 ＝．

∴　 ∠ACB＝∠DAB．∵　 ABCD为圆内接四边形，∴　 ∠FCD＝∠DAB，∠FDC＝∠ABC．

∴　 ∠ACB＝∠FCD．∴　 △ABC∽△FDC．∴　 ＝．

27．(8分)如图，AB为⊙O的直径，P为BA的延长线上一点，PC切⊙O于点C，

CD⊥AB，垂足为D，且PA＝4，PC＝8，求tan ∠ACD和sin ∠P的值．

[提示]连结CB，易证△PCA∽△PBC，所以＝．由切割线定理可求PB的长，所以

tan∠ACD＝tan ∠CBA＝＝．连结OC，则在Rt△OCP中可求

sin∠P的值．

[略解]连结OC、BC．∵　 PC为⊙O的公切线，∴　 PC²＝PA·PB．

∴　 8²＝4·PB．∴　 PB＝16．∴　 AB＝16－4＝12．易证△PCA∽△PBC．∴　 ＝．∵　 AB为⊙O的直径，∴　 ∠ACB＝90°．又　 CD⊥AB，∴ ∠ACD＝∠B．∴ tan ∠ACD＝tan B＝＝＝＝．

∵　 PC为⊙O的切线，∴　 ∠PCO＝90°．∴　 sin P＝＝＝．

26．(8分)如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，且AE＝1 cm，EB＝5 cm，

∠DEB＝60°，求CD的长．

[分析]因为AE＝1 cm，EB＝5 cm，所以OE＝(1+5)－1＝2(cm)．在Rt△OEF中可求EF的长，则EC、ED都可用DF表示，再用相交弦定理建立关于DF的方程，解方程求DF的长．

[略解]∵　 AE＝1 cm，BE＝5 cm，∴　 ⊙O的半径为3 cm．∴　 OE＝3－1＝2(cm)．在Rt△OEF中，∠OEF＝60°，∴　 EF＝cos 60°·OE＝·2＝1(cm)．∵　 OF⊥CD，∴　 FC＝FD．∴　 EC＝FC－FE＝FD－FE，ED＝EF+FD．即　 EC＝FD－1，ED＝FD+1．由相交弦定理，得　 AE·EB＝EC·ED．∴　 1×5＝(FD－1)(FD+1)．解此方程，得　 FD＝(负值舍去)．∴　 CD＝2FD＝2(cm)．

25．平分弦的直径垂直于弦……………………………………………(　　 )[答案]×．

[点评]当被平分的弦为直径时，两直径不一定垂直．

24．三角形一定有内切圆……………………………………………(　　 )[答案]√．

[点评]作三角形的两条角平分线，设交点为I，过I作一边的垂线段，则以点I为圆心，垂线段长为半径的圆即三角形的内切圆．

23．正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形………………(　　 )[答案]×．

[点评]正五边形是轴对称图形，但不是中心对称图形．

22．各角都相等的圆内接多边形是正多边形……………………………(　　 )[答案]×．

[点评]矩形内接于以对角线为直径的圆，但它不是正多边形．

21．相交两圆的公共弦垂直平分连结这两圆圆心的线段………………(　　 )[答案]×．

[点评]相交两圆的连心线垂直平分公共弦，反过来公共弦不一定平分连结两圆圆心的线段．