3．函数中,自变量的取值范围是(　　 )

A.　　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　　 　 D.

2．已知函数的图象如图,则的图象可能是(　　 )

　

1．下列函数中,自变量的取值范围是≥3的是(　　 )

(A)　　 (B)　　

(C)　　 (D)

17.(2009，恩施)求代数式的值：，其中

解:　 原式=

　　　　　 =　

　　　　　 =　　　　　　　　　

　　　　 将+　 代入得：

(2009，黄石)先化简，再求值

其中．

解：原式

．

当时，原式．

(2009，武汉)先化简，再求值：，其中．

解：原式

当时，原式．

(2009，襄樊)分式方程的解为(　　 )D

A．1　　 B．-1　 C．-2　　　 D．-3

(2009，襄樊)计算：

解：原式=

=

(2009，宜昌)当x=　　　　　　 时，分式没有意义．3

(2009，宜昌)化简：

解：

=

　　　　　 =2．

(2009，鄂州)使代数式有意义的x的取值范围是(　　 )D

　 A、x>3　　 　　　　 B、x≥3 　　　　 C、 x>4　　　 　　　 D 、x≥3且x≠4

(2009，荆门)已知x=2+，y=2－，计算代数式的值．

解：＝

　　　　 ＝＝

当x＝2+，y＝2－时，＝－4

(2009，仙桃)分式方程的解为________________．

(2009，仙桃)先化简，再求值：，其中x＝2－．

(2009，牡丹江)若关于的分式方程无解，则　　　　 ．1或-2

(2009，牡丹江)先化简：并任选一个你喜欢的数代入求值．

解：原式=

=

=

　　　　　　　 　 取0和1以外的任何数，计算正确都可给分

(2009，齐齐哈尔)先化简：，当时，请你为任选一个适当的数代入求值．

原式=

=

=

值正确给1分，计算结果正确给分

(2009，齐齐哈尔)某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．

(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元？

(2)为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？

(3)如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金元，要使(2)中所有方案获利相同，值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？

(1)解：设今年三月份甲种电脑每台售价元

解得：

经检验：是原方程的根，所以甲种电脑今年每台售价4000元．

(2)设购进甲种电脑台，

解得

因为的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案

(3)设总获利为元，

当时，(2)中所有方案获利相同．

此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利

(2009，哈尔滨)先化简．再求代数式的值．　　 其中a＝tan60°－2sin30°．

(2009，哈尔滨)跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同．

　 (1)求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

　 (2)若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润(利润＝售价－进价)超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来

(2009，河南)先化简，然后从中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.

原式=　　　　　　　

　　　 =．　　　 　　　

　　当x=时，原式=．

(2009，河北)已知a　=　2，，求_÷的值．

解：原式=

=．

当a = 2，时，

原式　=　2

(2009，安顺)已知分式的值为0，那么的值为______________。-1

(2009，安顺)先化简，再求值：，其中

(2009，柳州)分式方程的解是(　　 ) B

A．　　　 B．　　 C．　　　 D．

(2009，梧州)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3︰2，两队合做6天可以完成．

　(1)求两队单独完成此项工程各需多少天?

　 (2)此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若

按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元?

解:(1)设甲队单独完成此项工程需x天，由题意得

　　　

　　 解之得

经检验，是原方程的解．

所以甲队单独完成此项工程需15天，

乙队单独完成此项工程需15×=10(天)

　 (2)甲队所得报酬:(元)

乙队所得报酬:(元)

(2009，玉林)当=　　　　　　 时，分式没有意义．0

(2009，玉林)方程的解是(　　 )

A．　　　 B． 　　　C． 　　　　D．

(2009，河池)铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍．

(1)试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

(2)如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折(“七折”即定价的70﹪)售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

解：(1)设试销时这种苹果的进货价是每千克元，依题意，得)

解之，得　 5

经检验，5是原方程的解．

(2)试销时进苹果的数量为： (千克)

第二次进苹果的数量为：2×10002000(千克)

盈利为：　 2600×7+400×7×0.7－5000－110004160(元)

答：试销时苹果的进货价是每千克5元，商场在两次苹果销售中共盈利4160元．

(2009，贺州)解分式方程：

解：方程两边同乘，得

　

　　　 解这个方程，得　 x=2　

检验：当x=2时，=0，所以x=2是增根，原方程无解

(2009，南宁)要使式子有意义，的取值范围是(　　 )D

A．　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　　 D．

(2009，南宁)先化简，再求值：

，其中

解：

=

当时，原式

(2009，钦州)解方程：＝1．

两边都乘以x+1，得

2＝x+1． 7分

移项，合并同类项，得

x＝1．

当x＝1时， x+1＝2≠0，

∴原方程的根是：x＝1．

(2009，钦州)先化简，再求值：·，其中a＝+1(精确到001)．

原式＝

＝

＝2(a－1)．

∵a＝+1，

∴原式＝2(a－1)

＝2(+1－1)

＝2≈529．

(2009，白色)先化简，再求值：

(2009，白色)在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要60天，若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成。

(1)乙队单独完成这项工程需要多少天？

(2)甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元。若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

(2009，广州)解方程

解：两边乘以x(x-2)，得

3(x-2)=2x

解得x=6

经检验，x=6是原方程的解。

(2009，梅州)先化简，再求值：，其中．

解：

　

当时，原式

(2009，清远)当　　　　　　　 时，分式无意义．2

(2009，清远)解分式方程：

解：去分母，得

解得：

检验：把代入原方程得：左边=右边

所以是原方程的解

(2009，清远)化简：

解：原式=

=

(2009，肇庆)若分式的值为零，则的值是(　　 )A

A．3　　　　　　　 B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　 D．0

(2009，肇庆)观察下列各式：，，，…，根据观察计算：＝　　　　 ．(n为正整数)

(2009，肇庆)已知，求代数式的值．

解：

　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　

∵，∴原式

(2009，宁德)解分式方程：.

解：方程两边同乘以x－4，

3－x－1＝x－4　　　　　

　　　　 解这个方程，得x＝3　　

　　　　 检验：当x＝=3时，x－4＝－1≠0　

∴ x＝3是原方程的解　

(2009，广东省)解方程.

(2009，定西)计算：(　)A

A．　　　　　　　　　　 B．　　　 　　　 C．　　　 　　　 D．

(2009，龙岩)计算的结果为(　　 )C

　　　 A．1　　　　　　　　　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．－1　　　　　　　　　　 D．－2

(2009，龙岩)方程的解是　　　　　　　 .6

(2009，福州)若分式有意义，则x的取值范围是(　 )A

A．x≠1　　 B．x>1　　　 C． x=1　　　　　 D．x<1

(2009，定西)去年5月12日，四川省汶川县发生了里氏8.0级大地震，兰州某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？人均捐款多少元？

解法1：设第一天捐款x人，则第二天捐款(x+50)人，

由题意列方程　 = ．

　 解得 x =200．

检验：当x =200时，x(x+50)≠0，

　　 ∴ x =200是原方程的解．

　 两天捐款人数x+(x+50)=450， 人均捐款=24(元)．

答：两天共参加捐款的有450人，人均捐款24元．

说明：只要求对两天捐款人数为450， 人均捐款为24元，不答不扣分．

解法2：设人均捐款x元，

由题意列方程　 －＝50 ．

解得 x =24．

以下略．

(2009，福州)整理一批图书，如果由一个人单独做要花60小时。现先由一部分人用一小时整理，随后增加15人和他们一起又做了两小时，恰好完成整理工作。假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少人？

解：设先安排整理的人员有x人，依题意得，

　　　

　　 解得，　x＝10．

答：先安排整理的人员有10人．

(2009，泉州)计算： 　=　　　．

(2009，莆田)先化简。再求值：

，其中。

解：原式＝

　　　　　 ＝

　　　 当时，

　　　 原式＝…

(2009，漳州)分式方程的解是(　　 )A

A．1　　　　　　 B．　　 C．　 D．

(2009，北京)解分式方程：.

(2009，安徽)观察下列等式：，，，……

(1)猜想并写出第n个等式；

[猜想]

(2)证明你写出的等式的正确性．

[证]

(1)猜想：

(2)证：右边＝＝＝左边，即

3.如何用坐标表示线段的长？

[思路分析]　 在坐标平面上怎样求三角形的面积？

解：应用对称点坐标的特点分别找A，B，C各点坐标.

设(x₀，y₀)，则B(-x₀，-y₀).　　　　　　　　　　　　　　　　

∵AC∥y轴，BC∥x轴，

∴C(x₀，-y₀).

∴S_△ABC

　　　

∵点A(x₀，y₀)在函数的图象上.

∴，即x₀y₀=1.

∴S_△ABC=2，即S=2.

∴应选C.

[扩散2]　 如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线，且S_△AOB=3，求m的值.

　　　　　　　　　　　　

[思路分析]　 给定条件说明什么？如何利用S_△AOB=3这一条件？

设A(x,y)，则，，求m，即求x·y.

则由，求得：.

∵点A(x，y)在双曲线上，

∵m>0，∴m=6.

[扩散3]　 反比例函数(k>0)在第一象限内的图象如图所示，P为该图象上任一点，PQ⊥x轴，设△POQ的面积为S，则S与k之间的关系是(　　 ).

　　　　　　　　　　　

　 A.　　　　 B.　　　　 C.S=k　　　　 D.S>k

与扩散2思路相仿，请读者完成(答案B).

[扩散4] 　已知点P₁(x₁，y₁)和P₂(x₂，y₂)都在反比例函数(k<0)的图象上，试比较矩形P₁AOB和矩形P₂COD的面积大小.

　　　　　　　　　　　　

[思路分析]　 在坐标平面上怎样求矩形的面积？

应用坐标的特点找到矩形各顶点坐标，再利用矩形面积公式，求得面积值进行比较.

，

.

∵点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)都在反比例函数(k<0，x<0)的图象上.

∴>0(k<0)，即.

[扩散5]　 已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P₁

和P₂两点，过P₁分别作x轴、y轴的垂线P₁Q₁，P₁R₁，垂足分别为Q₁，R₁，过P₂分别作x轴、y轴的垂线P₂Q₂，P₂R₂，垂足分别为Q₂，R₂，求矩形OQ₁P₁R₁和OQ₂P₂R₂的周长，并比较它们的大小.

　　 [思路分析]　 解本例的关键是什么，求矩形周长应先确定哪几个点的坐标？

本例的关键是求出P₁，P₂的坐标，要求P₁，P₂两点坐标就要利用y=x，y=2x和.

设P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂).

∵P₁，P₂分别为y=x，y=2x与在第一象限内的交点，

∴.

∴矩形OQ₁P₁R₁的周长=2(2+2)=8.

同理：.

∴矩形OQ₂P₂R₂的周长.

则　 >6×1.4>8.

即矩形OQ₂P₂R₂的周长大于矩形OQ₁P₁R₁的周长.

[扩散6]　 如图，面积为3的矩形OABC的一个顶点B在反比例函数的图象上，

另3个点在坐标轴上，则k=　　　　　 .

　　　　　

[思路分析]　 解本例的关键是什么？怎样求B点坐标？

从图象和已知条件可知解本例关键是求出B点坐标.求B点坐标要利用矩形面积等于3这一条件.

设B(x，y)，则.

.

∵点B在反比例函数的图象上，

∴(k<0).

∴(k<0).

∴k=-3.

小结：从扩散1-6可知，对称点坐标的特点，点与图象之间一一对应关系，是解决问

题的关键，无论求面积或用面积求系数k，变化求周长等，都利用了这些基础知识，抓住它，再结合面积公式、周长公式等，问题迎刃而解.本例命题改变的思维扩散，目的就是灵活运用基础知识去解决问题.

错例剖析

有m部同样的机器一齐工作，需要m小时完成一项任务.

(1)设由x部机器(x为不大于m的正整数)完成同一任务，求所需时间y(小时)

与机器的总数x的函数关系式.

(2)画出所求函数当m=4时的图象.

解：(1)一部机器一小时能完成这项任务的，则x部机器一个小时能完成这项任务的，x部机器完成这项任务所需时间(小时)，即(x为不大于m的正整数).

(2)当m=4时，即(x为不大于4的正整数).

X	…	1	2	3	4	…
y	…	16	8	5.3	4	…

错因剖析

本例在求解过程中，思路清晰、准确地求出解析式，并严格按照画图象的步骤进行(列

表、描点、连线).由于知识学得死，又不能考虑实际情况，因此在画图象时三次出现错误：

(1)列表不能用省略号.因x是小于等于4的正整数.(2)不能用平滑的曲线连线.因

为机器必须是完整的，即用正整数表示，所以图象是正整数点.(3)图象向两方无限延伸也是错误的，即使能延伸，只是点延伸，也不能曲线延伸，何况自变量x是不大于4的正整数，根本不能延伸.可见,在学好书本知识,把它应用于具体实践中时,必须打破原来的思维定势的桎梏(列表用省略号,描点连线,向两方无限延伸),“列表、描点、连线”那是最基础的，一定要熟练掌握，但在具体应用所学知识时，千万要打破“框框”，要根据具体情况，决定策略，否则会出现各种各样错误.本例再次提醒我们，只有理论联系实际，才能学到真正知识.

原解答在列表、画图、连线时出现三处错误，其他均正确，现纠错如下：

x	1	2	3	4
y	16	8		4

2.(1)下列函数中，反比例函数是　　　　　　 .

　 A.　　 B.　　 C.　　 D.

(2)已知：(x₁，y₁)和(x₂，y₂)是双曲线上两点，当x₁<x₂<0时，y₁与y₂

的大小关系是　　　　　　　 .

　 A.y₁=y₂　　　　 B.y₁<y₂　　　　　 C.y₁>y₂　　　　　 D.y₁与y₂的大小关系不确定

(3)若函数的图象过点(3，-7)，那么它一定还经过点　　　　　　 .

　 A.(3，7)　　　　 B.(-3，-7)　　　　 C.(-3，7)　　　　 D.(2，-7)

(4)若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是　　　 .

　 A.0　　　　 B.0或1　　　　 C.0或2　　　　 D.4

学法指要

[例]　 如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以

CD为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上一动点，可以与B重合但不与A重合，DP交弓形弧于Q.

　　　　 　　　　　　

(1)求证：△CDQ∽△DPA；

(2)设DP=x，CQ=y，试写出y关于自变量x的解析式，并求出x的取值范围；

(3)当DP之长是方程的一根时，求四边形PBCQ的面积.

[思路分析]　 根据题设找两个三角形相似的条件，第一问迎刃而解，要求y与x之

间关系，当然要借助几何知识建立关系，观察图形可知，y和x与三角形相似息息相关，三角形相似已证，由此又使思路沟通.第三问首先解一元二次方程，求出DP，进一步可求出四边形PBCQ的面积.

[思考](1)判定两个三角形相似的条件是什么？本例中有没有这样的条件？

解：由梯形的性质，DC∥AB，可知∠CDQ=∠DPA.由弦切角的性质可知，∠DCQ=∠PDA；故△CDQ∽△DPA.

[思考](2)函数关系怎么建立？首先从图上看DP=x与CQ=y有什么关系？给定的已知条件与DP，CQ有什么关系？

解：从图形中不难分析出CQ，DP，DA，CD可转化为两相似三角形的对应边.

即CQ∶DA=CD∶DP，y∶10=6∶x，

∴　　　　　　　　　　　　　　　 .

这里要求的是DP=x的取值范围，DP的长短决定于什么？P点在什么范围运动？观察P

点的运动过程，P点到什么位置时，DP最长？P点运动到什么位置时，DP最短？

∵动点P可与B重合，也可与D在AB上的射影H重合，且D与线段AB上的点的连线中，以DB最长，DH最短.

∴DH≤DP≤DB，即DH≤x≤DB.

∵在　　 Rt△AHD中，可得

，∴.

∴　　　　　　　　　 .

∴　　　　　　　　　　　　　 5≤x≤14.

[思考]　 (3)四边形PBCQ在图形中占有什么位置？给定的一元二次方程与求四边

形PBCQ的面积有什么关系？

解：用图形分割法，从图上不难看出，四边形PBCQ=梯形ABCD-△DPA-△CDQ.

现在看梯形ABCD的面积、△DPA的面积、△CDQ的面积能否求.

S_△DPA=AP·DH.

由给定的中，求得DP=10.

又AD=10，∠A=60°，∴△DPA是等边三角形.

即　　　　　　　　　　　 .

∴　　　　　　　　　　　　　 .

，

由条件可知，△DCQ是等边三角形，DC=DQ=CQ=6，∠DQC=60°，

∴　　　　　　　　　　　　　　　 .

，

由已知条件可知，DC=6，AB=AP+PB=10+6=16，.

这就不难求出　 .

小结：从全题分析，由动到静，P点的移动是关键.研究动点要用静态去分析，本例第

3问的关键是由把P点定下来，才能有△ADP是等边三角形△DCQ是等边三角形四边形PBCD是平行四边形.

反比例函数与相似三角形、四边形、圆相结合为一体，又与一元二次方程水乳交融，这就给反比例蒙上神秘的色彩，给求反比例函数关系式设置了不少障碍.遇到这样复杂的问题时，一要认真剖析，把复杂化为简单；二要发挥数形结合的威力；三要集中“兵力”(即用所学基础知识，联想，类比，找到突破口)，各个击破，这样便可把难题攻破，走出低谷.

思维体操

[扩散1]

[例]　 如图，A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC∥y轴，BC∥x轴，△ABC的面积S，则　　　　　　 .

　 A.S=1　　　　 B.1<S<2　　　　 C.S=2　　　　　 D.S>2

[思考]　 1.关于x轴、y轴、原点对称的坐标有

何特点？2.平行于x轴、y轴坐标有什么特点？

1.(1)函数　　　　　　 叫做反比例函数；它的图象是　　　　　 .

(2)反比例函数的性质：①当k>0,图象的两个分支分别在　　　　　 象限，在每一

个象限内y随x的增大而　　　　　　 ，②k<0，图象的两个分支分别在　　　　　 象限，在每一个象限内，y随x的增大而　　　　　　 .

(3)k为何值时，是反比例函数，即k=　　　　　　 .

(4)反比例函数图象在　　　　　　 象限.

22．(2009年邵阳市)20、图(八)是一个反比例函数图像的一部分，点A(1，10)，　B(10，1)，是它的端点。

(1)求此函数的解析式，并写出自变量x的取值范围；

(2)　请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例。

21．(2009年广东省)如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点．过点分别作轴、轴的垂线，垂足为点、．如果四边形是正方形，求一次函数的关系式．

20．(2009年达州)如图8，直线与反比例函数(＜0)的图象相交于点A、点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为(－2，4)，点B的横坐标为－4.

(1)试确定反比例函数的关系式；

(2)求△AOC的面积.