60.(09年吉林长春)26．如图，直线分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D.点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动.过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN.设正方形PQMN与△ACD重叠部分(阴影部分)的面积为S(平方单位)，点E的运动时间为t(秒).

(1)求点C的坐标.(1分)

(2)当0<t<5时，求S与t之间的函数关系式.(4分)

(3)求(2)中S的最大值.(2分)

(4)当t>0时，直接写出点(4，)在正方形PQMN内部时t的取值范围.(3分)

[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为().]

(09年吉林长春26题解析)解：(1)由题意，得解得

∴C(3,).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

(2)根据题意，得AE=t，OE=8-t.

∴点Q的纵坐标为(8-t)，点P的纵坐标为t，

∴PQ= (8-t)-t=10-2t.

当MN在AD上时，10-2t=t，∴t=.　　　　　　　　　 (3分)

当0<t≤时，S=t(10-2t)，即S=-2t²+10t.

当≤t<5时，S=(10-2t)²，即S=4t²-40t+100.　　　　　 (5分)

(3)当0<t≤时，S=-2(t-)²+，∴t=时，S最大值=.

当≤t<5时，S=4(t-5)²，∵t<5时，S随t的增大而减小，

∴t=时，S最大值=.

∵>，∴S的最大值为.　　　　　　　　　 (7分)

(4)4<t<或t>6.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (10分)

59.(09年湖南株洲)23．(本题满分12分)如图，已知为直角三角形，，,点、在轴上，点坐标为(，)()，线段与轴相交于点，以(1，0)为顶点的抛物线过点、．

(1)求点的坐标(用表示)；

(2)求抛物线的解析式；

(3)设点为抛物线上点至点之间的一动点，连结并延长交于点，连结 并延长交于点，试证明：为定值．

(09年湖南株洲23题解析)(1)由可知，，又△ABC为等腰直角三角形，∴，，所以点A的坐标是().　　　　　　　　　 ………………… 3分

(2)∵　 ∴，则点的坐标是().

又抛物线顶点为，且过点、，所以可设抛物线的解析式为：，得：

　 解得　 ∴抛物线的解析式为　　 ………7分

(3)过点作于点，过点作于点，设点的坐标是，则，.

∵ ∴∽ ∴　 即，得

∵ ∴∽ ∴　 即，得

又∵

∴

即为定值8.　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………12分

57.(09年湖南湘西自治州)25．(本题20分)在直角坐标系xoy中，抛物线与x轴交于两点A、B，与y轴交于点C，其中A在B的左侧，B的坐标是(3，0)．将直线沿y轴向上平移3个单位长度后恰好经过点B、C．

(1)　　　 求k的值；

(2)　　　 求直线BC和抛物线的解析式；

(3)　　　 求△ABC的面积；

(4)　　　 设抛物线顶点为D，点P在抛物线的对称轴上，且∠APD=∠ACB，求点P的坐标．

(09年湖南湘西自治州25题解析)解(1)直线沿y轴向上平移3个单位后，过两点B，C

从而可设直线BC的方程为············································································ 2分

令，得C(0，3)································································································ 3分

又B(3，0)在直线上，

∴

∴······················································································································ 5分

(2)由(1)，直线BC的方程为·································································· 7分

又抛物线过点B，C

∴

∴抛物线方程为··················································································· 10分

(3)由(2)，令

得·········································································································· 12分

即A(1，0)，B(3，0)，而C(0，3)

∴△ABC的面积S_△ABC=(3-1)·3=3平方单位··························································· 15分

　 (4)由(2)，D(2，)，设对称轴与x轴交于点F，与BC交于E，可得E(2，1)，

连结AE．

∵

∴AE⊥CE，且AE=，CE=

(或先作垂线AE⊥BC，再计算也可)

在Rt△AFP与Rt△AEC中，

∵∠ACE=∠APE(已知)　

∴　 即=

∴······································································ 18分

∴点P的坐标为(2，2)或(2，)·························· 20分

(x轴上、下方各一个)

(注：只有一个点扣1分)

56.(09年湖南邵阳)25、如图(十二)直线l的解析式为y＝－x+4,　它与x轴、y轴分

　　　　　　相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x　　

　　　　　　轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别

　　　　　　相交于M、N两点，运动时间为t秒(0<t≤4)

　　(1)求A、B两点的坐标；

　　(2)用含t的代数式表示△MON的面积S₁；

　　(3)以MN为对角线作矩形OMPN,记　△MPN和△OAB重合部分的面积为S₂　；

　　 当2<t≤4时，试探究S₂与之间的函数关系；

(09年湖南邵阳25题解析)(1)当时，；当时，．；　 2分

(2)，；···· 4分

(3)①当时，易知点在的外面，则点的坐标为,

点的坐标满足即，

同理，则，··················································· 6分

所以

；··································· 8分

②当时，，

解得两个都不合题意，舍去；··········································· 10分

当时，，解得，

综上得，当或时，为的面积的．·········································· 12分

注：解答题用其它方法解答，请参照评分．

55.(09年湖南娄底)25．(本小题12分)如图11，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，另有一直角梯形DEFH

(HF∥DE，∠HDE=90°)的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3

(1)延长HF交AB于G，求△AHG的面积.　

(2)操作：固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个

单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B

重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯

形为DEFH′(如图12).　

探究1：在运动中，四边形CDH′H能否为正方形？若能，

请求出此时t的值；若不能，请说明理由.　

探究2：在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠

部分的面积为y，求y与t的函数关系.?　

(09年湖南娄底25题解析)解：(1)∵AH∶AC=2∶3，AC=6　

∴AH=AC=×6=4　

又∵HF∥DE，∴HG∥CB，∴△AHG∽△ACB…………………………1分　

∴=，即=，∴HG=…………………………………2分　

∴S_△AHG=AH·HG=×4×=……………………………………3分　

(2)①能为正方形…………………………………………………………………4分

∵HH′∥CD，HC∥H′D，∴四边形CDH′H为平行四边形　

又∠C=90°，∴四边形CDH′H为矩形…………………………………5分

又CH=AC-AH=6-4=2　

∴当CD=CH=2时，四边形CDH′H为正方形　

此时可得t=2秒时，四边形CDH′H为正方形…………………………6分　

②(Ⅰ)∵∠DEF=∠ABC，∴EF∥AB　

∴当t=4秒时，直角梯形的腰EF与BA重合.　

当0≤t≤4时，重叠部分的面积为直角梯形DEFH′的面积.…………7分　

过F作FM⊥DE于M，=tan∠DEF=tan∠ABC===　

∴ME=FM=×2=，HF=DM=DE-ME=4-=　

∴直角梯形DEFH′的面积为(4+)×2=　

∴y=………………………………………………………………8分　

(Ⅱ)∵当4＜t≤5时，重叠部分的面积为四边形CBGH的面积-矩形CDH′H的面积.…………………………………………………………9分　

而S_边形CBGH=S_△ABC-S_△AHG=×8×6-=

S_{矩形CDH′H}?=2t　

∴y=-2t……………………………………………………………………10分　

(Ⅲ)当5＜t≤8时，如图，设H′D交AB

于P.　

BD=8-t　

又=tan∠ABC=　

∴PD=DB=(8-t)………………11分　　　　　 ∴重叠部分的面积y=S??

△PDB=PD·DB　

=·(8-t)(8-t)　

=(8-t)²=t²-6t+24　

∴重叠部分面积y与t的函数关系式：　

y=(0≤t≤4)　

-2t(4＜t≤5)　

t²-6t+24(5＜t≤8)

(注：评分时，考生未作结论不扣分)?

54.(09年湖南怀化)26． (本题满分10分)

如图12，在直角梯形OABC中， OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A(15，0)，B(10，12)，动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交轴于点F．设动点P、Q运动时间为t(单位：秒)．

(1)当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；

(2)当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；

(3)当t为何值时，△PQF是等腰三角形？请写出推理过程．

(09年湖南怀化26题解析)解：(1)如图4，过B作

则······ (1分)

过Q作

则

························································································· (2分)

要使四边形PABQ是等腰梯形，则，

即

或(此时是平行四边形，不合题意，舍去)························· (3分)

(2)当时，。

··············································· (4分)

···················································· (5分)

··································································· (6分)

(3)①当时，则

···························································································· (7分)

②当时，

即······················································ (8分)

③当时， ········· (9分)

综上，当时，△PQF是等腰三角形．·············· (10分)

53.(09年湖南衡阳)26、(本小题满分9分)

如图12，直线与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点(A、B两点除外)，过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

　　　 (1)当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化？并说明理由；

　　　 (2)当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值？最大值是多少？

(3)当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为，正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与的函数关系式并画出该函数的图象．

　　　 (09年湖南衡阳26题解析)(1)设点M的横坐标为x，则点M的纵坐标为－x+4(0<x<4，x>0，－x+4>0)；

　　　　　　　 　　 则：MC＝∣－x+4∣＝－x+4，MD＝∣x∣＝x；

　　　　　　　　　　 ∴C_{四边形OCMD}＝2(MC+MD)＝2(－x+4+x)＝8

∴当点M在AB上运动时，四边形OCMD的周长不发生变化，总是等于8；

(2)根据题意得：S_{四边形OCMD}＝MC·MD＝(－x+4)· x＝－x²+4x＝－(x-2)²+4

∴四边形OCMD的面积是关于点M的横坐标x(0<x<4)的二次函数，并且当x＝2，即当点M运动到线段AB的中点时，四边形OCMD的面积最大且最大面积为4；

(3)如图10(2)，当时，；

如图10(3)，当时，；

∴S与的函数的图象如下图所示：

52.(09年湖南郴州)27． 如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M(－2，)，且P(，－2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．

(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；

(2)当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；

(3)如图12，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

(09年湖南郴州27题解析)(1)设正比例函数解析式为，将点M(，)坐标代入得，所以正比例函数解析式为 ······························································································ 2分

同样可得，反比例函数解析式为　 ···························································· 3分

(2)当点Q在直线DO上运动时，

设点Q的坐标为， ················································································ 4分

于是，

而，

所以有，，解得　 ········································································· 6分

所以点Q的坐标为和 ······························································ 7分

(3)因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP＝CQ，OQ＝PC，

而点P(，)是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．······························································································································ 8分

因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为，

由勾股定理可得，

所以当即时，有最小值4，

又因为OQ为正值，所以OQ与同时取得最小值，

所以OQ有最小值2． ····························································································· 9分

由勾股定理得OP＝，所以平行四边形OPCQ周长的最小值是

．······························································ 10分

51.(09年湖南常德)26．如图9，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

　 (1)当把△ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；(4分)

　 (2)当△ADE绕A点旋转到图11的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．(6分)

(09年湖南常德26题解析)解：(1)CD=BE．理由如下:　 1分

　　　　 ∵△ABC和△ADE为等边三角形　　

∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60^o

　　 ∵∠BAE =∠BAC－∠EAC =60^o－∠EAC，

∠DAC =∠DAE－∠EAC =60^o－∠EAC，　　　

∴∠BAE=∠DAC， ∴△ABE ≌ △ACD·········································· 3分

　　　　 ∴CD=BE······························································· 4分

　 (2)△AMN是等边三角形．理由如下：·························· 5分

　　　　 ∵△ABE ≌ △ACD，　　 ∴∠ABE=∠ACD．

　　　　 ∵M、N分别是BE、CD的中点，

　　　　 ∴BM=

　　　　 ∵AB=AC，∠ABE=∠ACD， ∴△ABM ≌ △ACN．

　　　　 ∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．··································· 6分

　　　　 ∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60^o

　　　　 ∴△AMN是等边三角形．·········································· 7分

　　　　 设AD=a，则AB=2a．

　　　 ∵AD=AE=DE，AB=AC，　　 ∴CE=DE．

　　　　 ∵△ADE为等边三角形，　 ∴∠DEC=120 ^o，　 ∠ADE=60^o，

　　　 ∴∠EDC=∠ECD=30^o 　，　　 ∴∠ADC=90^o．·················································· 8分

　　　 ∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30 ^o ，　 ∴ CD=．

∵N为DC中点，

∴， ∴．························ 9分

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，

∴S_△ADE∶S_△ABC∶ S_△AMN························ 10分

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：··································································· 5分

∵△ABE ≌ △ACD，M、N分别是BE、CN的中点，∴AM=AN，NC=MB．

∵AB=AC，∴△ABM ≌ △ACN，∴∠MAB=∠NAC　 ，

∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60^o

∴△AMN是等边三角形··························································································· 7分

设AD=a，则AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2a

易证BE⊥AC，∴BE=，

∴　 ∴

∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形

　　 ∴S_△ADE∶S_△ABC∶ S_△AMN···························· 10分