46.(09年湖北武汉)25．(本题满分12分)

如图，抛物线经过、两点，与轴交于另一点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)已知点在第一象限的抛物线上，求点关于直线对称的点的坐标；

(3)在(2)的条件下，连接，点为抛物线上一点，且，求点的坐标．

(09年湖北武汉25题解析)解：(1)抛物线经过，两点，

解得

抛物线的解析式为．

(2)点在抛物线上，，

即，或．

点在第一象限，点的坐标为．

由(1)知．

设点关于直线的对称点为点．

，，且，

，

点在轴上，且．

，．

即点关于直线对称的点的坐标为(0，1)．

(3)方法一：作于，于．

由(1)有：，

．

，且．

，

．

，，，

．

设，则，，

．

点在抛物线上，

，

(舍去)或，．

方法二：过点作的垂线交直线于点，过点作轴于．过点作于．

．

，

又，．

，，．

由(2)知，．

，直线的解析式为．

解方程组得

点的坐标为．

45.(09年湖北十堰)25．(12分)如图①， 已知抛物线(a≠0)与轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 设抛物线的对称轴与轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

(3) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．

(09年湖北十堰25题解析)解: (1)由题知: ……………………………………1 分　　

　解得: ……………………………………………………………2分

∴ 所求抛物线解析式为: ……………………………3分

(2) 存在符合条件的点P, 其坐标为P (－1, )或P(－1,－ )

或P (－1, 6)　 或P (－1, )………………………………………………………7分

(3)解法①：

过点E 作EF⊥x 轴于点F , 设E ( a ,--2a+3 )( －3< a < 0 )

∴EF=--2a+3，BF=a+3，OF=－a ………………………………………………8 分

∴S_{四边形BOCE} = BF·EF + (OC +EF)·OF　

=( a+3 )·(－－2a+3) + (－－2a+6)·(－a)……………………………9 分

=………………………………………………………………………10 分

=－+

∴ 当a =－时，S_{四边形BOCE} 最大, 且最大值为 ．……………………………11 分　

此时，点E 坐标为 (－，)……………………………………………………12分

解法②：

过点E 作EF⊥x 轴于点F， 设E ( x ,　 y ) ( －3< x < 0 ) …………………………8分

则S_{四边形BOCE} = (3 + y )·(－x) +　 ( 3 + x )·y ………………………………………9分

　　　　　　 = ( y－x)= ( )　 …………………………………10 分

　　　　　　 = － + 　

∴ 当x =－时，S_{四边形BOCE} 最大，且最大值为 ． …………………………11分

此时，点E 坐标为 (－，) ……………………………………………………12分

说明:(1)抛物线解析式用其它形式表示，只要正确不扣分.

(2)直接应用公式法求抛物线顶点坐标或最大值不扣分．

(3)其它解法请参照评分说明给分.

44.(09年湖北荆门)25．(本题满分12分)一开口向上的抛物线与x轴交于A(m－2，0)，B(m+2，0)两点，记抛物线顶点为C，且AC⊥BC．

(1)若m为常数，求抛物线的解析式；

(2)若m为小于0的常数，那么(1)中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？

(3)设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得△BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

(09年湖北荆门25题解析)解：(1)设抛物线的解析式为：y＝a(x－m+2)(x－m－2)＝a(x－m)²－4a．…………2分

∵AC⊥BC，由抛物线的对称性可知：△ACB是等腰直角三角形，又AB＝4，

∴C(m，－2)代入得a＝．∴解析式为：y＝(x－m)²－2．…………………………5分

(亦可求C点，设顶点式)

(2)∵m为小于零的常数，∴只需将抛物线向右平移－m个单位，再向上平移2个单位，可以使抛物线y＝(x－m)²－2顶点在坐标原点．………………………………………7分

(3)由(1)得D(0，m²－2)，设存在实数m，使得△BOD为等腰三角形．

∵△BOD为直角三角形，∴只能OD＝OB．……………………………………………9分

∴m²－2＝|m+2|，当m+2＞0时，解得m＝4或m＝－2(舍)．

当m+2＜0时，解得m＝0(舍)或m＝－2(舍)；

当m+2＝0时，即m＝－2时，B、O、D三点重合(不合题意，舍)

综上所述：存在实数m＝4，使得△BOD为等腰三角形．……………………………12分

43.(09年湖北黄石)25．(本小题满分10分)

正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，，抛物线过三点．

(1)求抛物线的解析式；(3分)

(2)是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；(3分)

(3)在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由．(4分)

(09年湖北黄石25题解析)解：(1)依条件有，．

由知．

∴由得．

∴．

将的坐标代入抛物线方程，

得．

∴抛物线的解析式为．····································································· 3分

(2)设，，．

∴

设，则

∴，(舍去)

此时点与点重合，，，，

则为等腰梯形．······························································································· 3分

(3)在射线上存在一点，在射线上存在一点．

使得，且成立，证明如下：

当点如图①所示位置时，不妨设，过点作，，，垂足分别为．

若．由得：

，

．

又

．············································································································· 2分

当点在如图②所示位置时，

过点作，，

垂足分别为．

同理可证．

．

又，

，

．············································································································· 1分

当在如图③所示位置时，过点作，垂足为，延长线，垂足为．

同理可证．

．············································································································· 1分

注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的．只给2分．

42.(09年湖北黄冈)20．(满分14分)如图,在平面直角坐标系xoy中,抛物线与x轴的交点为点B,过点B作x轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC．现有两动点P,Q分别从O,C两点同时出发,点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动,点P停止运动时,点Q也同时停止运动,线段OC,PQ相交于点D,过点D作DE∥OA,交CA于点E,射线QE交x轴于点F．设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)

(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;

(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形?请写出计算过程;

(3)当0＜t＜时,△PQF的面积是否总为定值?若是,求出此定值,若不是,请说明理由;

(4)当t为何值时,△PQF为等腰三角形?请写出解答过程．

(09年湖北黄冈20题解析)解：(1)，令得，

∴或∴；………………………1′

在中，令得即；………………2′

由于BC∥OA，故点C的纵坐标为－10，由得或

即且易求出顶点坐标为……………………………………3′

于是，，顶点坐标为。…………………4′

(2)若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA。故只要QC=PA即可，而故得；……………………7′

(3)设点P运动秒，则，，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，

由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故

∴∴…………………9′

又点Q到直线PF的距离，∴，

于是△PQF的面积总为90。…………………………10′

(4)由上知，，。构造直角三角形后易得

，

①　　 若FP=PQ，即，故，

∵∴∴……………………11′

②　　 若QP=QF，即，无的满足条件；……………12′

③　　 若PQ=PF，即，得，∴或都不满足，故无的满足方程；………………………13′

综上所述：当时，△PQR是等腰三角形。…………………………14′

41.(09年湖北恩施州)24.如图，在中，∠°，, 的面积为，点为边上的任意一点(不与、重合)，过点作∥，交于点．设以为折线将△翻折，所得的与梯形重叠部分的面积记为y.

(1)．用x表示∆ADE的面积;

(2)．求出﹤≤时y与x的函数关系式；

(3)．求出﹤﹤时y与x的函数关系式；

(4)．当取何值时，的值最大？最大值是多少？

(09年湖北恩施州24题解析)解:(1)　 ∵ DE∥BC 　∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C

　　　　　 ∴△ADE∽△ABC　 ∴

即　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　3分

(2)∵BC=10　 ∴BC边所对的三角形的中位线长为5

∴当0﹤ 时 　　　　　　　　　　　　　6分

(3)﹤10时，点A'落在三角形的外部,其重叠部分为梯形

∵S_△A'DE=S_△ADE=

　∴DE边上的高AH=AH'=

由已知求得AF=5

∴A'F=AA'-AF=x-5

由△A'MN∽△A'DE知

∴　　　　　　 　9分

(4)在函数中

∵0﹤x≤5

∴当x=5时y最大为：　 　　　　　　　　　　　　　10分

　　 在函数中

当时y最大为：　　　　　　　　　　 11分

∵﹤

∴当时，y最大为：　　 　　　　　　　　　　　12分

40.(09年湖北鄂州)27．如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝｜CF-EO｜，再以CM、CO为边作矩形CMNO

(1)试比较EO、EC的大小，并说明理由

(2)令，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由

(3)在(2)的条件下，若CO＝1，CE＝，Q为AE上一点且QF＝，抛物线y＝mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式.

　(4)在(3)的条件下，若抛物线y＝mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似?若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标?若不存在，请说明理由。

(09年湖北鄂州27题解析)(1)EO＞EC，理由如下：

由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，∴EF＞EC， 故EO＞EC …2分

(2)m为定值

∵S_{四边形CFGH}=CF²=EF²－EC²=EO²－EC²=(EO+EC)(EO―EC)=CO·(EO―EC)

S_{四边形CMNO}=CM·CO=|CE―EO|·CO=(EO―EC) ·CO

∴ ……………………………………………………4分

(3)∵CO=1，　 ∴EF=EO=

∴cos∠FEC= ∴∠FEC=60°，

∴

∴△EFQ为等边三角形， …………………………………………5分

作QI⊥EO于I，EI=，IQ=

∴IO= ∴Q点坐标为 ……………………………………6分

∵抛物线y=mx²+bx+c过点C(0，1)， Q ，m=1

∴可求得，c=1

∴抛物线解析式为 ……………………………………7分

(4)由(3)，

当时，＜AB

∴P点坐标为　　 …………………8分

∴BP=AO

方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：

①时，∴K点坐标为或

②时， ∴K点坐标为或…………10分

故直线KP与y轴交点T的坐标为

 …………………………………………12分

方法2：若△BPK与△AEF相似，由(3)得：∠BPK=30°或60°，过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°

①当∠RTP=30°时，

②当∠RTP=60°时，

∴ ……………………………12分

39.(09年黑龙江绥化)28．(本小题满分lO分)

(09年黑龙江绥化28题解析)

38.(09年黑龙江齐齐哈尔)28．(本小题满分10分)

直线与坐标轴分别交于两点，动点同时从点出发，同时到达点，运动停止．点沿线段　　　 运动，速度为每秒1个单位长度，点沿路线→→运动．

(1)直接写出两点的坐标；

(2)设点的运动时间为秒，的面积为，求出与之间的函数关系式；

(3)当时，求出点的坐标，并直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标．

(09年黑龙江齐齐哈尔28题解析)(1)A(8，0)B(0，6)···································· 1分

(2)

点由到的时间是(秒)

点的速度是(单位/秒)·· 1分

当在线段上运动(或0)时，

··························································································································· 1分

当在线段上运动(或)时，,

如图，作于点，由，得，··································· 1分

·················································································· 1分

(自变量取值范围写对给1分，否则不给分．)

(3)··········································································································· 1分

···························································· 3分

注：本卷中各题，若有其它正确的解法，可酌情给分．

37.(09年黑龙江牡丹江)28．(本小题满分8分)

如图，在平面直角坐标系中，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且

　 (1)求的值．

　 (2)若为轴上的点，且求经过、两点的直线的解析式，并判断与是否相似？

　 (3)若点在平面直角坐标系内，则在直线上是否存在点使以、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

(09年黑龙江牡丹江28题解析)解：(1)解得

··························································································· 1分

在中，由勾股定理有

···················································································· 1分

(2)∵点在轴上，

···················································································· 1分

由已知可知D(6，4)

设当时有

解得

····························································································· 1分

同理时，································································ 1分

在中，

在中，

························································································ 1分

(3)满足条件的点有四个

·································· 4分

说明：本卷中所有题目，若由其它方法得出正确结论，可参照本评分标准酌情给分.