11.(09年广东佛山)25．一般地，学习几何要从作图开始，再观察图形，根据图形的某一类共同特征对图形进行分类(即给一类图形下定义--定义概念便于归类、交流与表达)，然后继续研究图形的其它特征、判定方法以及图形的组合、图形之间的关系、图形的计算等问题. 课本里对四边形的研究即遵循着上面的思路．

当然，在学习几何的不同阶段，可能研究的是几何的部分问题．比如有下面的问题，请你研究．

已知：四边形中，，且．

(1)借助网格画出四边形所有可能的形状；

(2)简要说明在什么情况下四边形具有所画的形状．

(09年广东佛山25题解析)(1)四边形可能的形状有三类：图“矩形”、图“等腰梯形”、图的“四边形”．

注1：画出“矩形”或“等腰梯形”，各给1分；画出另一类图形(后两种可以看作一类)，给2分；

等腰梯形不单独画而在后两种图中反映的，不扣分；画图顺序不同但答案正确不扣分．

注2：如果在类似图或图④的图中画出凹四边形，同样给分(两种都画，只给一种的分)．

(2) (i)若是直角(图)，则四边形为等腰梯形；······································ 6分

(ii)若是锐角(图)，存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形；······································································································································ 8分

其中，若是直角(图)，则四边形为矩形．················································ 9分

(iii)若是钝角(图④)，存在两个点和，得到等腰梯形和符合条件但不是梯形的四边形；·································································································································· 11分

注：可用与或者与是否相等分类；只画矩形和等腰梯形并进行说明可给4分．

10.(09年甘肃庆阳)29．(12分)如图18，在平面直角坐标系中，将一块腰长为5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为(，0)，点B在抛物线上．

(1)点A的坐标为　　　　　　 ，点B的坐标为　　　　　　 ；

(2)抛物线的关系式为　　　　　　 ；

(3)设(2)中抛物线的顶点为D，求△DBC的面积；

(4)将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达的位置．请判断点、是否在(2)中的抛物线上，并说明理由．

(09年甘肃庆阳29题解析)解： (1)A(0，2)， B(，1)．···························· 2分

(2)．······················································································· 3分

(3)如图1，可求得抛物线的顶点D()．············································· 4分

设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得，，

∴ BD的关系式为．········································································ 5分

设直线BD和x 轴交点为E，则点E(，0)，CE=．

∴　 △DBC的面积为．························································ 7分

(4)如图2，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P．　　 8分

在Rt△AB′M与Rt△BAN中，

∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，

∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．····················································································· 9分

∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′(1，)．··················································· 10分

同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′(2，1)；····················· 11分

将点B′、C′的坐标代入，可知点B′、C′在抛物线上．················ 12分

(事实上，点P与点N重合)

9.(09年甘肃兰州)29.(本题满分9分)如图①，正方形 ABCD中，点A、B的坐标分别为(0，10)，(8，4)，　

点C在第一象限．动点P在正方形 ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，　

同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停止运动，　　

设运动的时间为t秒．

(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标(长度单位)关于运动时间t(秒)的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

(2)求正方形边长及顶点C的坐标；

(3)在(1)中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；

(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

(09年甘肃兰州29题解析)解：(1)(1，0)······················································· 1分

　点P运动速度每秒钟1个单位长度．··········································································· 2分

(2) 过点作BF⊥y轴于点，⊥轴于点，则＝8，．

　 ∴．

　在Rt△AFB中，　　　　　　　　 　3分

　过点作⊥轴于点，与的延长线交于点．

∵ ∴△ABF≌△BCH．

　∴．

∴．

∴所求C点的坐标为(14，12)． 　　　　　　　　　　　4分

(3) 过点P作PM⊥y轴于点M，PN⊥轴于点N，

则△APM∽△ABF．

　∴．　 ．

　∴．　 ∴．

设△OPQ的面积为(平方单位)

∴(0≤≤10) ························································ 5分

说明:未注明自变量的取值范围不扣分．

　∵<0　 ∴当时， △OPQ的面积最大．······························ 6分

　此时P的坐标为(，) ．················································································· 7分

(4)　 当 或时，　 OP与PQ相等．························································· 9分

　对一个加1分，不需写求解过程．

8.(09年甘肃定西)28．如图14(1)，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C(0，)．［图14(2)、图14(3)为解答备用图］

(1)　　　，点A的坐标为　　　，点B的坐标为　　　；

(2)设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积；

(3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)在抛物线上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

(09年甘肃定西28题解析)解：(1)，··················· 1分

A(-1，0)，····························································· 2分

B(3，0)．······························································· 3分

(2)如图14(1)，抛物线的顶点为M(1，-4)，连结OM．

　　　　　 ······································································ 4分

则 △AOC的面积=，△MOC的面积=，

△MOB的面积=6，····················································· 5分

∴ 四边形 ABMC的面积

=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．········································· 6分

说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面

积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

(3)如图14(2)，设D(m，)，连结OD．

则 0＜m＜3， ＜0．

且 △AOC的面积=，△DOC的面积=，　　　　　　　　　

△DOB的面积=-()，····························································· 8分

∴ 四边形 ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积

=

=．···················································································· 9分

∴ 存在点D，使四边形ABDC的面积最大为．······························ 10分

(4)有两种情况：

如图14(3)，过点B作BQ₁⊥BC，交抛物线于点Q₁、交y轴于点E，连接Q₁C．

∵ ∠CBO=45°，∴∠EBO=45°，BO=OE=3．

∴ 点E的坐标为(0，3)．

∴ 直线BE的解析式为．···································································· 12分

由 解得

∴ 点Q₁的坐标为(-2，5)．··············································································· 13分

如图14(4)，过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q₂、交x轴于点F，连接BQ₂．

∵ ∠CBO=45°，∴∠CFB=45°，OF=OC=3．

∴ 点F的坐标为(-3，0)．

∴ 直线CF的解析式为．···································································· 14分

由 解得

∴点Q₂的坐标为(1，-4)．················································································· 15分

综上，在抛物线上存在点Q₁(-2，5)、Q₂(1，-4)，使△BCQ₁、△BCQ₂是以BC为直角边的直角三角形．　　 16分

说明：如图14(4)，点Q₂即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样得2分．

7.(09年福建福州)22．(满分14分)

已知直线l：y=－x+m(m≠0)交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在

线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M

旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上, 点F在直线l上;取线段EO中

点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：

过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M

为顶点的抛物线为.

(1) 如图10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，

②求、的函数解析式；

(2)当m发生变化时， ①在的每一支上，y随x的增大如何变化？请说明理由。

　　　 　　　　　　　　②若、中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。

(09年福建福州22题解析)解：(1)①点M的坐标为(2，4)，点F的坐标为(－2，8)．……………………2分

②　　　 设的函数解析式为(．

　　∵过点F(－2，8)

　　∴的函数解析式为．

∵的顶点B的坐标是(0，6)

∴设的函数解析式为．

∵过点M(2，4)

∴

．

∴的函数解析式为．……………………6分

(2)依题意得，A(m，0)，B(0，m)，

∴点M坐标为()，点F坐标为(，)．

①设的函数解析式为(．

∵过点F(，)

∴．

∵

∴

∴在的每一支上，y随着x的增大而增大．

②答：当＞0时，满足题意的x的取值范围为 0＜x＜；

当＜0时，满足题意的x的取值范围为＜x＜0．………………………………14分

6.(09年福建厦门)26．(11分)已知二次函数y＝x²－x+c．

(1)若点A(－1，a)、B(2，2n－1)在二次函数y＝x²－x+c的图象上，求此二次函数的最小值；

(2)若点D(x₁，y₁)、E(x₂，y₂)、P(m，n)(m＞n)在二次函数y＝x²－x+c的图象上，且D、E两点关于坐标原点成中心对称，连接OP．当2≤OP≤2+时，试判断直线DE与抛物线y＝x²－x+c+的交点个数，并说明理由．

(09年福建厦门26题解析)　 (1)解：法1：由题意得　　　　　　　　　　　　 ……1分

　 解得　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　……2分

　 法2：∵ 抛物线y＝x²－x+c的对称轴是x＝，

　　 且　 －(－1) ＝2－，∴ A、B两点关于对称轴对称.　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ n＝2n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……1分

　　 ∴ n＝1，c＝－1.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……2分

　　 ∴ 有 y＝x²－x－1　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　……3分

　　　　　　 ＝(x－)²－.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ 二次函数y＝x²－x－1的最小值是－.　　　　　　　　　　 　　　　……4分

　 (2)解：∵ 点P(m，m)(m＞0)，

　　 ∴ PO＝m.

　　 ∴ 2≤m ≤+2.

　　 ∴ 2≤m≤1+.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……5分

　　 法1： ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x²－x+c的图象上，

　　 ∴ m＝m²－m+c，即c＝－m²+2m.

　　 ∵ 开口向下，且对称轴m＝1，

　　 ∴ 当2≤m≤1+ 时，

　　 有　 －1≤c≤0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……6分

　　 法2：∵ 2≤m≤1+，

　　 ∴ 1≤m－1≤.

　　 ∴ 1≤(m－1)²≤2.　

　　 ∵ 点P(m，m)(m＞0)在二次函数y＝x²－x+c的图象上，

　　 ∴ m＝m²－m+c，即1－c＝(m－1)².

　　 ∴　 1≤1－c≤2.

　　 ∴ －1≤c≤0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……6分

　　 ∵ 点D、E关于原点成中心对称，

　　 法1： ∴ x₂＝－x₁，y₂＝－y₁.

　　 ∴

　　 ∴ 2y₁＝－2x₁， y₁＝－x₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 设直线DE：y＝kx.

　　 有 －x₁＝kx₁.

　　 由题意，存在x₁≠x₂. 　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ 存在x₁，使x₁≠0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ……7分

　　 ∴　 k＝－1.

　　 ∴ 直线DE： y＝－x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

　　 法2：设直线DE：y＝kx.

　　 则根据题意有 kx＝x²－x+c，即x²－(k+1) x+c＝0.

　　 ∵ －1≤c≤0，

　　 ∴ (k+1)²－4c≥0.

　　 ∴ 方程x²－(k+1) x+c＝0有实数根.　　　　　　　　　　　　　　　 ……7分

　　 ∵ x₁+x₂＝0，　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ k+1＝0.

　　 ∴ k＝－1.

　　 ∴ 直线DE： y＝－x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　……8分

　　 若 则有 x²+c+＝0.即 x²＝－c－.

　　 ①　 当 －c－＝0时，即c＝－时，方程x²＝－c－有相同的实数根，

　　 即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x+c+有唯一交点.　　　　　 　　　　……9分

　　 ②　 当 －c－＞0时，即c＜－时，即－1≤c＜－时，

　　 方程x²＝－c－有两个不同实数根，

　　 即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x+c+有两个不同的交点.　　　　　 ……10分

　　 ③　 当 －c－＜0时，即c＞－时，即－＜c≤0时，

　　 方程x²＝－c－没有实数根，

　　 即直线y＝－x与抛物线y＝x²－x+c+没有交点.　　　　　　　　　 ……11分

3.6或12.……………………………………………………………(13分)

5.(09年福建泉州)28．(13分)在直角坐标系中，点A(5，0)关于原点O的对称点为点C.

(1)请直接写出点C的坐标；

(2)若点B在第一象限内，∠OAB=∠OBA，并且点B关于原点O的对称点为点D.

①试判断四边形ABCD的形状，并说明理由；

②现有一动点P从B点出发，沿路线BA-AD以每秒1个单位长的速度向终点D运动，另一动点Q从A点同时出发，沿AC方向以每秒0.4个单位长的速度向终点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.已知AB=6，设点P、Q的运动时间为t秒，在运动过程中，当动点Q在以PA为直径的圆上时，试求t的值.

(09年福建泉州28题解析)28.(本小题13分)

解:(1)C(-5，0)…………………………………………(3分)

(2)①四边形ABCD为矩形，理由如下：

如图，由已知可得：A、O、C在同一直线上，且　　　　　　 OA=OC；B、O、D在同一直线上，且OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形.…………………………………………………………(5分)

∵∠OAB=∠OBA∴OA=OB,即AC=2OA=2OB=BD

∴四边形ABCD是矩形.……………………………………(7分)

②如图，由①得四边形ABCD是矩形

∴∠CBA=∠ADC=90°………………………………………(8分)

又AB=CD=6，AC=10

∴由勾股定理，得BC=AD=

==8…………………………………(9分)

∵，，∴0≤t≤14.……………………(10分)

当0≤t≤6时，P点在AB上，连结PQ.

∵AP是直径，∴∠PQA=90°…………………………………(11分)

又∠PAQ=∠CAB，∴△PAQ∽△CAB

∴，即,解得t=3.6…………………………(12分)

当6＜t≤14时，P点在AD上，连结PQ，

同理得∠PQA=90°，△PAQ∽△CAD

∴，即t-6,解得t=12.

综上所述，当动点Q在以PA为直径的圆上时，t的值为

4.(09年福建莆田)25．(14分)已知，如图1，过点作平行于轴的直线，抛物线上的两点的横坐标分别为1和4，直线交轴于点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为点、，连接．

(1)求点的坐标；

(2)求证：；

(3)点是抛物线对称轴右侧图象上的一动点，过点作交轴于点，是否存在点使得与相似？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

(09年福建莆田25题解析)25．(1)解:方法一，如图1，当时,

当时,

∴·············································································· 1分

······················································································ 2分

设直线的解析式为··············································· 3分

则　　解得

∴直线的解析式为·············································· 4分

当时,

···························································································································· 5分

方法二:求两点坐标同方法一,如图2,作,,垂足分别为、,交轴于点,则四边形和四边形均为矩形,设························· 3分

······················································································································· 4分

解得

························································································································· 5分

(2)证明：方法一：在中，

························································································································ 6分

在中，

由(1)得

··································································································· 7分

················································································································ 8分

方法二：由 (1)知

················································································································· 6分

同理：

······································································································· 7分

同理：

即················································································································ 8分

(3)存在.

解：如图3，作轴，垂足为点··········· 9分

又

···················································· 10分

设，则

①当时，

································································································ 11分

解得

···················································································································· 12分

②当时，

································································································ 13分

解得

综上，存在点、使得与相似.··································· 14分

3.(09年福建宁德)26．(本题满分13分)如图，已知抛物线C₁：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1．

(1)求P点坐标及a的值；(4分)

(2)如图(1)，抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向右平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C₃的解析式；(4分)

(3)如图(2)，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．(5分)

(09年福建宁德26题解析)解：(1)由抛物线C₁：得

顶点P的为(-2，-5)　 ………2分

∵点B(1，0)在抛物线C₁上

∴

　　　　 解得，a＝　　　　　　 ………4分

(2)连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G

∵点P、M关于点B成中心对称

∴PM过点B，且PB＝MB

∴△PBH≌△MBG

∴MG＝PH＝5，BG＝BH＝3

∴顶点M的坐标为(4，5)　　　　　　　　　 ………6分

　　　　 抛物线C₂由C₁关于x轴对称得到，抛物线C₃由C₂平移得到

∴抛物线C₃的表达式为　 ………8分

(3)∵抛物线C₄由C₁绕点x轴上的点Q旋转180°得到

∴顶点N、P关于点Q成中心对称

　　 由(2)得点N的纵坐标为5

设点N坐标为(m，5)　　　　　　 ………9分

　　 作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G

　　 作PK⊥NG于K

　　 ∵旋转中心Q在x轴上

∴EF＝AB＝2BH＝6

　　 ∴FG＝3，点F坐标为(m+3，0)

　　 H坐标为(2，0)，K坐标为(m，-5)，

根据勾股定理得

　　 PN²＝NK²+PK²＝m²+4m+104

　　 PF²＝PH²+HF²＝m²+10m+50

　　 NF²＝5²+3²＝34　　　　　　　 ………10分

　　 ①当∠PNF＝90º时，PN²+ NF²＝PF²，解得m＝，∴Q点坐标为(，0)　

②当∠PFN＝90º时，PF²+ NF²＝PN²，解得m＝，∴Q点坐标为(，0)

③∵PN＞NK＝10＞NF，∴∠NPF≠90º

综上所得，当Q点坐标为(，0)或(，0)时，以点P、N、F为顶点

的三角形是直角三角形．　　　 ………13分