23．(11分)如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)、C(8，0)、D(8，8).抛物线y＝ax²+bx过A、C两点.

(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；

　　 (2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD

向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E

　　 ①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?

②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?

请直接写出相应的t值.

解题思路：抛物线的求法是函数解析式中的一种，通常情况下用待定系数法，即先列方程组，再求未知系数，这种方法本题比较适合。对于压轴题中的动点问题、极值问题，先根据条件“以静制动”，用未系数表示各自的坐标，如果能构成二次函数，即可通过配方或顶点坐标公式求其极值。

答案：(1)点A的坐标为(4，8)　　　　　　　　 …………………1分

将A　 (4,8)、C(8，0)两点坐标分别代入y＝ax²+bx

得　 　

解得a＝－,b＝4

∴抛物线的解析式为：y＝－x²+4x　 　　　　…………………3分

(2)①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE＝＝,即＝.

∴PE＝AP＝t．PB＝8－t．

∴点E的坐标为(4+t，8－t).

∴点G的纵坐标为：－ (4+t)²+4(4+t)＝－t²+8. …………………5分

∴EG＝－t²+8－(8－t)

　　 ＝－t²+t.

∵－＜0，∴当t＝4时，线段EG最长为2.　　　　　　 …………………7分

②共有三个时刻.　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………8分

t₁＝， 　t₂＝，t₃＝． 　　　　　　　　　…………………11分

22． (10分)某家电商场计划用32400元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共l5台.三种家电的进价和售价如下表所示：

(1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?

　　 (2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴.在(1)的条件下．

如果这15台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元?

解题思路：对于方案设计的问题，首先考虑的是如何根据已知条件列出不等式，在所求得的取值范围中找出符合题意的值，得出可能产生的几种方案。

答案：设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(15－2x)台　　 …………………1分

依题意得：　　　　…………………5分

解这个不等式组，得6≤x≤7

∵x为正整数，∴x＝6或7　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………7分

方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台；

方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台　　　　　　　 …………………8分

(2)方案1需补贴：(6×2100+6×2500+1×1700)×13%＝4251(元)；

　 方案2需补贴：(7×2100+7×2500+1×1700)×13%＝4407(元)；

∴国家的财政收入最多需补贴农民4407元.　　　　　　　　　 …………………10分

21． (10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, ∠B ＝60°，BC＝2．点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α.

　　 (1)①当α＝________度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_________；

　　 　　②当α＝________度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_________；

　　 (2)当α＝90°时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

解题思路：解决此问题，既要弄清等腰梯形、直角梯形及菱形的判定，又要掌握有关旋转的知识，在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，也是解决问题的关键。

答案：(1)①30，1；②60，1.5；　　　　　　　　　　　 ……………………4分

　 (2)当∠α＝90⁰时，四边形EDBC是菱形.

　　　 ∵∠α＝∠ACB＝90⁰，∴BC//ED.

　　　 ∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形.　　　　 ……………………6分

　　　 在Rt△ABC中，∠ACB＝90⁰，∠B＝60⁰,BC＝2,

∴∠A＝30⁰.

∴AB＝4,AC＝2.

∴AO＝AC＝ .　　　　　　　　　　　　　　　　 ……………………8分

在Rt△AOD中，∠A＝30⁰，∴AD＝2.

∴BD＝2.

∴BD＝BC.

又∵四边形EDBC是平行四边形，

∴四边形EDBC是菱形　　　　　　　　　　　　 ……………………10分

20．(9分)如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2 .90m的顶灯.已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m．矩形面与地面所成的角α为78°.李师傅的身高为l.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05-0.20m时，安装起来比较方便.他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便?

　　 (参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21，tan78°≈4.70.)

解题思路：本题中问题的解决要弄清楚电工李师傅所站的地方离地面的高度，这要通过解直角三角形来解决，首先可求得点A离地面的距离，再用相似三角形对应边成比例，或者同角三角函数的比例，求得第三级离地面的高度，即可求得他头顶离房顶的距离。

答案：过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F．…………………………1分

∵AB＝AC,

∴CE＝BC＝0.5．　　　……………………2分

在Rt△ABC和Rt△DFC中，

∵tan78⁰＝，

∴AE＝EC×tan78° ≈0.5×4.70＝2.35.　…………………4分

又∵sinα＝＝，

DF＝·AE＝×AE≈1.007．　……………………7分

李师傅站在第三级踏板上时，头顶距地面高度约为：1.007+1.78＝2.787．

头顶与天花板的距离约为：2.90－2.787≈0.11．

∵0.05＜0.11＜0.20，

∴它安装比较方便．　　　　　　　　　　　　　 　　　 ……………………9分

19．(9分)暑假期间，小明和父母一起开车到距家200千米的景点旅游.出发前，汽车油箱内储油45升；当行驶150千米时，发现油箱剩余油量为30升.

　　 (1)已知油箱内余油量y(升)是行驶路程x(千米)的一次函数，求y与x的函数关系式；

　　 (2)当油箱中余油量少于3升时，汽车将自动报警.如果往返途中不加油，他们能否在汽车报警前回到家?请说明理由.

解题思路：本题考查一次函数的实际应用，用待定系数法求一次函数的解析式，再通过其解析式计算说明问题。由一次函数的解析式的求法，找到两点列方程组即可解决。

答案：(1)设y＝kx+b,当x＝0时，y＝45,当x＝150时，y＝30．

　　 ∴ 　　………………………………………………4分

　 　　解得 　　………………………………………………5分

　 ∴y＝－x+45． ………………………………………………6分

(2)当x＝400时，y＝－×400+45＝5＞3．

∴他们能在汽车报警前回到家．　 …………………………………9分

18．(9分)2008年北京奥运会后，同学们参与体育锻炼的热情高涨.为了解他们平均每周的锻炼时间，小明同学在校内随机调查了50名同学，统计并制作了如下的频数分布表和扇形统计图.

　 根据上述信息解答下列问题：

　　 (1)m＝______，n＝_________；

　 　(2)在扇形统计图中，D组所占圆心角的度数为_____________；

　　 (3)全校共有3000名学生，估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有

　 多少名?

解题思路：解决这类问题的关键是要弄清楚频数的意义，理解频数分布表与扇形统计图的对应关系，以及用样本估计总体的统计思想。本题首先找到突破口C组所占的比例，求得m的值，再由频数之和等于总数，求得n的值。

答案：(1)8，4；　　　　　 ………………………………………………………2分

　 (2)144°；　　　　　 ………………………………………………………5分

　 (3)估计该校平均每周体育锻炼时间不少于6小时的学生约有：

　　　　 3000×＝3000×＝2340(人)．……………………………9分

17．(9分)如图所示，∠BAC＝∠ABD,AC＝BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.

解题思路：首先进行判断：OE⊥AB，由已知条件不难证明△BAC≌△ABD，得∠OBA＝∠OAB再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可证得结论。解决此类问题，要熟练掌握三角形全等的判定、等腰三角形的性质等知识。

答案：OE⊥AB．　　　　　　…………………………………………1分

证明：在△BAC和△ABD中，

∴△BAC≌△ABD．　………………………………………………………5分

∴∠OBA＝∠OAB,

∴OA＝OB．　　………………………………………………………7分

又∵AE＝BE, ∴OE⊥AB．　　　 ………………………………………………………9分

(注：若开始未给出判断“OE⊥AB”，但证明过程正确，不扣分)

16．(8分)先化简，然后从,1，－1中选取一个你认为合适的数作为x的值代入求值.

解题思路：首先利用分式的运算方法进行化简，本题有两种方法：一是对括号里的式子先通分、合并，再将后式除法变为乘法，分解因式后约分；二是先把后式除法变乘法，再利用乘法分配律化简。在选值计算时，要保证在分式有意义的情况下选值，本题只能选。

答案：原式＝　　　　　　 ……………………4分

　　　 ＝．　　 　　……………………………………………………………6分

　　当x＝时，原式＝．　…………………………………8分

　　(注：如果x取1活－1，扣2分．)

15．如图，在半径为，圆心角等于45°的扇形AOB内部作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在⌒AB上，则阴影部分的面积为(结果保留π)　　　　　　　 .

[解析]连接OF，由∠AOD＝45°，四边形CDEF是正方形，可得OD＝CD＝DE＝EF，于是Rt△OFE中，OE＝2EF，OF＝，易得EF＝OD＝CD＝1，所以＝.本题失分率较高，学生的主要失误在于找不到解题的切入点，不知道如何添加辅助线，也有学生对直角三角形三边关系不熟悉，误认为∠FOB＝30°造成失误。

答案：

14．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3,AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A’处，折痕为PQ，当点A’在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A’在BC边上可移动的最大距离为　　　　　　　　 .

[解析]本题关键在于找到两个极端，即BA’取最大或最小值时，点P或Q的位置。经实验不难发现，当点P与B重合时，BA’取最大值3，而当点Q与D重合时，由勾股定理易得A’C＝4，所以此时BA’取最小值为1。所以点A’在BC边上移动的最大距离为2.本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误。

答案：2