例1：在中的对边为，且：：=3：4：5，求证：．

错解　 证明：设，

则，．

∴．

分析　 本题中没有说明，而直接应用正弦、余弦函数的定义是错误的，应先证明为直角三角形，且后才能用定义．

正解　 证明：设，

　　　　　　 ∵，

∴是以为斜边的直角三角形．

∴．

则，．

　　　　　　 ∴．

例4．　今年入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位．一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在A处测得航标C在北偏东60°的方向上．前进100米到达B处，又测得航标C在北偏东45°方向上(如图4)．在以航标C为圆心，120米长为半径的圆形区域内有浅滩．如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？(≈1.73)．

解 　　如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D．

在Rt△ADC中，AD＝CD·Cot∠CAD＝CD·Cot30°＝CD．

在Rt△BDC中，AD＝CD·Cot∠CBD＝CD·Cot45°＝CD．

∴AB＝AD－BD＝CD－CD＝(－1)CD＝100．

∴CD＝＝50(+1)≈136.5(米)．

∵136.5米＞120米．∴若船继续前进没有被浅滩阻碍的危险．

解直角三角形

例3．　如图3，海中有一小岛P，在其距8海里范围内有暗礁，一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°，且A、P之间的距离为16海里，若轮船继续向东方向航行，请计算轮船有无触礁的危险，如有危险，轮船自A处开始至少沿东偏南多少度方向航行，才能安全通过这一海域．

解　　 依题意画出航行图，如图3，由P向A的正东方向作垂线PB，垂足为B．

由∠PAB＝30°，得 PB＝AP＝8．

因为8＜8，故有触礁的危险．

为了安全，应改变航行方向，并且保证P点到航向的距离不能小于暗礁的半径8，即这个距离至少等于8．

设安全航向为AD，做PC⊥AD于C，由题意，AP＝16，PC＝8，∴sin∠PAC＝．

∴∠PAC＝45°，从而知∠BAC＝15°．

故轮船自A开始，至少应沿东偏南15°的方向航行，才能安全通过此海域．

例2．　甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16.1海里/小时的速度向东偏南32°方向航行，乙船向西偏南58°方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向．求乙船的速度v(精确到0.1海里／小时)．　　　

(参考数据：　 sin32°＝0.53，Cos32°＝0.85，tAn32°＝0.62，Cot32°＝1.60)

分析　　 由题意知∠AOB＝90°，要求乙船的速度，得先求OB的长．

解 　　由题意可得：OA＝16．1×2＝32.2(海里)， ∠1＝32°，∠2＝58°．

∴∠AOB＝180°－(∠1+∠2)＝90°．

由B在A的正西方向，可得∠A＝∠1＝32°．

又∵在Rt△AOB中，tAnA＝，

∴OB＝OA·tAnA＝32.2×0.62＝19.964．

∴v＝＝19.964÷2＝9.982≈10.0(海里／小时)．

例1．　台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A、B两处的上海救捞局所属专业救助轮“华意”轮、沪救12”轮前往出事地点协助搜救．接到通知后，“华意”轮测得出事地点C在A的南偏东60°，“沪救12”轮测得出事地点C在B的南偏东30°．已知B在A的正东方向，且相距100海里，分别求出两船到达出事地点C的距离．如图1．

分析 　　读懂题目，弄清与方位有关的词语，在△ABC中正确写出已知条件是解题的关键，依题意知△ABC是顶角为150°的等腰三角形，过点B作底边上的高，不难求出BC、AC的长．

解：作BD⊥AC，依题意知∠ABC＝120°，∠BAC＝30°，

∴BC＝AB＝100海里．在Rt△BDC中，∴∠C＝30°，

∴DC＝BC·Cos30°＝50 ．

∴AC＝100．

说明 　　本题是三角函数的应用问题，其实质上是用解直角三角形的知识解斜三角形的问题，如何把斜三角形的问题转化为直角三角形的问题，只要弄清题意，理解关键字词的含义，把实际问题转化为数学问题，方能正确作出辅助线，构造直角三角形求解．

43．正方形网格中，如图2放置，则的值为( A　 　)

A．　　 B．　　　　 C．　　　 D．2

42．已知α为锐角，且cot(90°－α)＝，则α的度数为( B )

A．30°　　　　　　 B．60°　　　　　　 C．45°　　　　　 D．75°

41．如图，在中，，三边分别为，则等于(　　 )

A．　　　 B．　　　 C．　　　 D．

40、如图(3)AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4，则sinB=A

A、　 　B、　　C、　　D、　　

39．三角形在正方形网格纸中的位置如图2所示，则sinα的值是C

　 A. 　　　　　　　B. 　　　　　　　　C. 　　　　　　　D.