25．解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(x₁，0)、B(x₂，0)，

∴x₁、x₂是关于x的方程的解．

方程可简化为x²+2(a－1)x+(a²－2a)＝0．

解方程，得x＝－a或x＝－a+2．　　　　　　　　　　　　　　 1分

∵x₁＜x₂，－a＜－a+2，

∴x₁＝－a，x₂＝－a+2．

∴A、B两点的坐标分别为A(－a，0)，B(－a+2，0)．　　　　　 2分

(2)∵AB＝2，顶点C的纵坐标为　　　　　　　　　　　　　　 3分

∴△ABC的面积等于　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 4分

(3)x₁＜1＜x₂，　 ∴－a＜1＜－a+2．

∴－1＜a＜1．　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

∵a是整数，

∴a＝0，所求抛物线的解析式为y＝　　　　　 6分

解法一：此时顶点C的坐标为

如图5，作CD⊥AB于D，连结CQ．

图5

则AD＝1，

∴∠BAC＝60°．

由抛物线的对称性可知△ABC是等边三角形．

由△APM和△BPN是等边三角形，线段MN的中点为Q可得，点

M、N分别在AC和BC边上，四边形PMCN为平行四边形，C、Q、

P三点共线，且　　　　　　　　　　　　　　　　 7分

∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8分

解法二：设点P的坐标为P(x，0)(0＜x＜2)．

如图6，作MM₁⊥AB于M₁，NN₁⊥AB于N₁．

图6

∵△APM和△BPN是等边三角形，且都在x轴上方，

∴AM＝AP＝x，BN＝BP＝2－x，

∠MAP＝60°，∠NBP＝60°．

∴M、N两点的坐标分别为

可得线段MN的中点Q的坐标为

由勾股定理得　 7分

∵点P在线段AB上运动的过程中，P与A、B两点不重合，0＜x＜2，

　　　　　　　　　　　 8分

24．(1)解：如图3，连结OB．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

图3

∵⊙O的内接△ABC中，∠BAC＝45°，

∴∠BOC＝2∠BAC＝90°．

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

∵AD∥OC，

∴∠D＝∠OCB＝45°．　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 2分

(2)证明：∵∠BAC＝45°，∠D＝45°，

∴∠BAC＝∠D．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∵AD∥OC，

∴∠ACE＝∠DAC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∴△ACE∽△DAC．

∴AC²＝AD·CE．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

(3)解法一：如图4，延长BO交DA的延长线于F，连结OA．

图4

∵AD∥OC，

∴∠F＝∠BOC＝90°．

∵∠ABC＝15°，

∴∠OBA＝∠OBC－∠ABC＝30°．

∵OA＝OB．

∴∠FOA＝∠OBA+∠OAB＝60°，∠OAF＝30°．

∴．

∵AD∥OC，

∴△BOC∽△BFD．

即的值为2．　　　　　　　　 7分

解法二：作OM⊥BA于M，设⊙O的半径为r，可得

所以

23．解：(1)∵方程x²－2ax－a+2b＝0有一个根为2a，

∴4a²－4a²－a+2b＝0．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

整理，得　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∵a＜0，即a＜b．　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

(2)＝4a²－4(－a+2b)＝4a²+4a－8b．　　　　　　　　　　　　　　 4分

∵对于任何实数a，此方程都有实数根．

∴对于任何实数a，都有4a²+4a－8b≥0，即a²+a－2b≥0　　　 5分

∴对于任何实数a，都有

当时，有最小值　　　　　　　　　　　　　 6分

∴b的取值范围是

22．(1)证明：如图1，连结PC．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

图1

∵AC＝1，BD＝1，　 ∴AC＝BD．

∵∠BAC＝120°，AP平分∠BAC，

∵△PAD是等边三角形，

∴PA＝PD，∠D＝60°．

∴∠1＝∠D．

∴△PAC≌△PDB．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴PC＝PB，∠2＝∠3．

∴∠2+∠4＝∠3+∠4，∠BPC＝∠DPA＝60°．

∴△PBC是等边三角形，BC＝BP．　　　　　　　　　　　　　 3分

证法二：作BM∥PA交PD于M，证明△PBM≌△BCA．

(2)解法一：如图2，作CE⊥PB于E，PF⊥AB于F．

图2

∵AB＝3，BD＝1，　 ∴AD＝4．

∵△PAD是等边三角形，PF⊥AB，

∴BF＝DF－BD＝1，

　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　　　 5分

即点C到BP的距离等于

解法二：作BN⊥DP于N，

以下同解法一．

21．解：(1)设市场某天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠时，

每千克这种水果涨了x元．

由题意得(10+x)(500－20x)＝6000．　　　　　　　　　　　　 1分

整理，得x²－15x+50＝0．

解得x₁＝5，x₂＝10．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

因为顾客得到了实惠，应取x＝5．　　　　　　　　　　　　　 3分

答：市场某天销售这种水果盈利6 000元，同时顾客又得到了实惠时，每千克这种水果涨了5元．

(2)因为每千克这种水果涨价x元时，市场每天销售这种水果所获利润为y元，y关于x的函数解析式为y＝(10+x)(500－20x)(0＜x≤25)．　　　 4分

而y＝(10+x)(500－20x)＝－20x²+300x+5000＝－20(x－7.5)²+6125．

所以，当x＝7．5时(0＜7．5≤25)，y取得最大值，最大值为6 125．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 6分

答：不考虑其他因素，单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元时，市场每天销售这种水果盈利最多，最多盈利6 125元．

20．解：∵AE⊥BC，EF⊥AB，

∴∠1+∠2＝90°，∠B+∠2＝90°．

∴∠1＝∠B．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

∴

∴Rt△ABE中，　　　　　　　　　　　　　　　 2分

设BE＝4k，则AB＝BC＝5k，EC＝BC－BE＝k＝2．

∴BE＝8．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

∴Rt△BEF中，　　　　　　　　　 4分

19．解：(1)抛物线的对称轴为直线x＝　 2　 ，抛物线与x轴的另一个交点D的坐标为(3，0)；　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　 2分

(2)∵抛物线经过点C(1，0)、D(3，0)，

∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)．　　　　　　　　　　　 4分

由抛物线经过点A(0，3)，得a＝1．　　　　　　　　　　　　　 5分

∴抛物线的解析式为y＝x²－4x+3．　　　　　　　　　　　　 6分

18．解：(1)图形见下．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

(2)①∠ABC＝　 45°　 ；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

②∠ABP　 ＜　 ∠CBP．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

17．(1)证明：∵AB＝2，BC＝4，BD＝1，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

∵∠ABD＝∠CBA，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

∴△ABD∽△CBA．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

(2)答：△ABD∽△CDE；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

DE＝　 1.5　 . 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分

16．(1)证明：连结OC．

∵OB＝OC，∠B＝30°，

∴∠OCB＝∠B＝30°．

∴∠COD＝∠B+∠COB＝60°．　　　　　　　　　　　　 1分

∵∠BDC＝30°，

∴∠BDC+∠COD＝90°，DC⊥OC．　　　　　　　　　　　 2分

∴BC是弦，

∴点C在⊙O上．

∴DC是⊙O的切线．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 3分

(2)解：∵AB＝2，

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

∵在Rt△COD中，∠OCD＝90°，∠D＝30°，

∴　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 5分