3．工程设计问题类

工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．

[例3]　 要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？

解　 设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则

面积最大．

说明 　应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．

[例4]　 要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．

解 　设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)．

在Rt△BOD中，DB＝78，OD=B－x

∴(R－x)²+78²=R²

由题意知R≥600

得x²－1200x+6084≥0(x＞0)，解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)

∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．

2．行程问题类

[例2]　 已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数．

解　 根据题意：

(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)

(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x＝150(2.5＜x≤3.5)

(3)由B地返回A地，则B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)

1．几何问题类

用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．

[例1]　 如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．

解　 (1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．

(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB+BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP²＝AB²+BP²

(3)当点P在DC边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP²=AD²+DP²．

(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．

∴所求的函数关系式为

2．3．1　 函数的单调性·例题解析

[例1]求下列函数的增区间与减区间

(1)y＝|x²+2x－3|

解　 (1)令f(x)＝x²+2x－3＝(x+1)²－4．

先作出f(x)的图像，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y＝|x²+2x－3|的图像，如图2．3－1所示．

由图像易得：

递增区间是[－3，－1]，[1，+∞)

递减区间是(－∞，－3]，[－1，1]

(2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．

解　 当x－1≥0且x－1≠1时，得x≥1且x≠2，则函数y＝－x．

当x－1＜0且x－1≠－1时，得x＜1且x≠0时，则函数y＝x－2．</PGN0071B.TXT/PGN>

∴增区间是(－∞，0)和(0，1)

减区间是[1，2)和(2，+∞)

(3)解：由－x²－2x+3≥0，得－3≤x≤1．

令u＝＝g(x)＝－x²－2x+3＝－(x+1)2+4．在x∈[－3，－1]上是在x∈[－1，1]上是．

∴函数y的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．

[例2]函数f(x)＝ax²－(3a－1)x+a²在[－1，+∞]上是增函数，求实数a的取值范围．

解　 当a＝0时，f(x)＝x在区间[1，+∞)上是增函数．

若a＜0时，无解．

∴a的取值范围是0≤a≤1．

[例3]已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，试比较大小：

(1)f(6)与f(4)

解　 (1)∵y＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x＝3，∴x≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)

时为减函数．

解　 任取两个值x₁、x₂∈(－1，1)，且x₁＜x₂．

当a＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．

当a＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．

[例5]利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x³+1在(－∞，+∞)上是减函数．

证　 取任意两个值x₁，x₂∈(－∞，+∞)且x₁＜x₂．

又∵x₁－x₂＜0，∴f(x₂)＜f(x₁)

故f(x)在(－∞，+∞)上是减函数．

得f(x)在(－∞，+∞)上是减函数．

解　 定义域为(－∞，0)∪(0，+∞)，任取定义域内两个值x₁、x₂，且x₁＜x₂．

∴当0＜x₁＜x₂≤1或－1≤x₁＜x₂＜0时，有x₁x₂－1＜0，x₁x₂＞0，f(x₁)＞f(x₂)

∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．

当1≤x₁＜x₂或x₁＜x₂≤－1时，有x₁x₂－1＞0，x₁x₂＞0，f(x₁)＞f(x₂)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，+∞)上为增函数．

根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)_min＝f(1)＝2，当x＜0时，f(x)_max＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致

说明　 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．

2°注意对参数的讨论(如例4)．

3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)

4°例6是分层讨论，要逐步培养．

2．2　 函数·例题解析</PGN0062A.TXT/PGN>

[例1]判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？

(1)x²+y＝1

(2)x+y²＝1

解　 (1)由x²+y＝1得y＝1－x²，它能确定y是x的函数．

于任意的x∈{x|x≤1}，其函数值不是唯一的．

[例2]下列各组式是否表示同一个函数，为什么？

解　 (1)中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数．

(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数．

(4)中两式的定义域都是－1≤x≤1，对应法则也相同，故两式子是相同函数．</PGN0062B.TXT/PGN>

[例3]求下列函数的定义域：

[例4]已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求下列函数的定义域：

求实数a的取值范围．

为所求a的取值范围．

[例6]求下列函数的值域：

(1)y＝－5x²+1

(3)y＝x²－5x+6，x∈[－1，1)

(4)y＝x²－5x+6，x∈[－1，3]

(9)y＝|x－2|－|x+1|

解　 (1)∵x∈R，∴－5x²+1≤1，值域y≤1．

(6)定义域为R

(7)解：定义域x≠1且x≠2

(y－4)x²－3(y－4)x+(2y－5)＝0　 ①

当y－4≠0时，∵方程①有实根，∴Δ≥0，

即9(y－4)²－4(y－4)(2y－5)≥0

化简得y²－20y+64≥0，得

y＜4或y≥16

当y＝4时，①式不成立．

故值域为y＜4或y≥16．

函数y在t≥0时为增函数(见图2．2－3)．

(9)解：去掉绝对值符号，</PGN0065B.TXT/PGN>

其图像如图2．2－4所示．

由图2．2－4可得值域y∈[－3，3]．

说明　 求函数值域的方法：

1°观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等．(如例1，2)

2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理．假如求函数f(x)＝ax²+bx+c(a＞0)，在给定区间[m，n]的值域(或最值)，分三种情况考虑：

(如例5)可做公式用．

法求y的范围(如例6－7)．

为二次函数求值域．但要注意中间量t的范围(如例6－8)．

6°分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来．利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例6－6)．

7°图像法(如例6－9)：

由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解．

解　 (2)∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝100．

说明　 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义．求分段函数值时，要注意在定义域内进行．

[例8]根据已知条件，求函数表达式．

(1)已知f(x)＝3x²－1，求①f(x－1)，②f(x²)．

(2)已知f(x)＝3x²+1，g(x)＝2x－1，求f[g(x)]．

求f(x)．

(4)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x+1)－f(x)＝x－1，求f(x)．

(5)设周长为a(a＞0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域．

(1)分析：本题相当于x＝x－1时的函数值，用代入法可求得函数表达式．

解　 ∵f(x)＝3x²－1

∴f(x－1)＝3(x－1)²－1＝3x²－6x+2

f(x²)＝3(x²)²－1＝3x⁴－1

(2)分析：函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，∴仍用代入法求解．

解　 由已知得f[g(x)]＝3(2x－1)²+1＝12x²－12x+4

法(或观察法)．

∴x＝(t+1)²代入原式有f(t)＝(t+1)²－6(t+1)－7

＝t²－4t－12　 (t≥－1)

即f(x)＝x²－4x－12　 (x≥－1)

说明　 解法二是用的换元法．注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法．

(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解．

解　 设f(x)＝ax²+bx+c(a≠0)

由f(0)＝2，得c＝2．由f(x+1)－f(x)＝x－1，得恒等式2ax+

说明　 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握．

(5)解：∵2x+y＝a，∴y＝a－2x为所求函数式．

∵三角形任意两边之和大于第三边，

∴得2x+2x＞a，又∵y＞0，

说明　 求实际问题函数表达式，重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式，其定义域与值域，要考虑实际问题的意义．

当x＞5时，原不等式可化为

x－5－(2x+3)＜1，

解之得x＞－9，所以x＞5．

说明：在含有绝对值的不等式中，“去绝对值”是基本策略．

例13　 解不等式|2x－1|＞|2x－3|．

分析　 本题也可采取前一题的方法：采取用零点分区间讨论去掉绝

之，则更显得流畅，简捷．

解　 原不等式同解于

(2x－1)²＞(2x－3)²，

即4x²－4x+1＞4x²－12x+9，

即8x＞8，得x＞1．

所以原不等式的解集为{x|x＞1}．

说明：本题中，如果把2x当作数轴上的动坐标，则|2x－1|＞|2x－3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离，则2x应当在2的右边，从而2x＞2即x＞1．

2．4　 反函数·例题解析

[例1]求下列函数的反函数：

解　 (2)∵y＝(x－1)²+2，x∈(－∞，0]其值域为y∈[2，+∞)，

[例2]求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像．

解　 (1)∵已知函数的定义域是x≥1，∴值域为y≥－1，

解　 (2)由y＝－3x²－2(x≤0)得值域y≤－2，

它们的图像如图2．4－2所示．

(1)求它的反函数；(2)求使f^-1(x)＝f(x)的实数a的值．

令x＝0，∴a＝－3．

或解 　由f(x)＝f^-1(x)，那么函数f(x)与f^-1(x)的定义域和值域相同，定义域是{x|x≠a，x∈R}，值域y∈{y|y≠3，y∈R}，∴－a＝3即a＝－3．

试求a、b、c、d满足什么条件时，它的反函数仍是自身．

令x＝0，得－a＝d，即a+d＝0．

事实上，当a+d＝0时，必有f^-1(x)＝f(x)，

因此所求的条件是bc－ad≠0，且a+d＝0．

[例5]设点M(1，2)既在函数f(x)＝ax²+b(x≥0)的图像上，又在它的反函数图像上，(1)求f^-1(x)，(2)证明f^-1(x)在其定义域内是减函数．

解法(二)　 由函数y＝f(x)与其反函数y＝f^-1(x)之间的一一对应关

因为原函数的图像与其反函数的图像关于直线y＝x对称，

∴函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．

2．7　 对数·例题解析

[例1]　 计算：

(2)lg²2+lg4·lg50+lg²50

(2)原式=lg²2+2lg2·(1+lg5)+(1+lg5)²=(lg2+1+lg5)²=4

[例2]　 (1)已知10^x＝2，10^y=3，求100^2x-y的值．

(2)已知log₈9=a，log₂5＝b，用a、b表示lg3．

解　 (1)∵10^x＝2∴lg2＝x，∵10^y=3∴lg3=y则100^2x-y=

②

证　 设8^x＝9^y＝6^z＝k(k＞0，且k≠1)则x=log₈k，y＝log₉k，z＝log₆k，

解法二　 设S_x＝Ax²+Bx(x∈N)

①－②，得A(m²－n²)+B(m－n)＝n－m

∵m≠n　 ∴ A(m+n)+B=－1

故A(m+n)²+B(m+n)＝－(m+n)

即S_m+n＝－(m+n)

说明　 a₁，d是等差数列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整体化”思想，在解有关数列题目中值得借鉴．解法二中，由于是等差数列，由例22，故可设S_x=Ax²+Bx．(x∈N)

[例14]　 在项数为2n的等差数列中，各奇数项之和为75，各偶数项之和为90，末项与首项之差为27，则n之值是多少？

解　 ∵S_偶项－S_奇项=nd

∴nd=90－75=15

又由a_2n－a₁＝27，即(2n－1)d=27

[例15]　 在等差数列{a_n}中，已知a₁＝25，S₉＝S₁₇，问数列前多少项和最大，并求出最大值．

解法一　 建立S_n关于n的函数，运用函数思想，求最大值．

∵a₁=25，S₁₇＝S₉　 解得d＝－2

∴当n=13时，S_n最大，最大值S₁₃＝169

解法二　 因为a₁=25＞0，d＝－2＜0，所以数列{a_n}是递减等

∵a₁＝25，S₉＝S₁₇

∴a_n=25+(n－1)(－2)=－2n+27

即前13项和最大，由等差数列的前n项和公式可求得S₁₃=169．

解法三　 利用S₉=S₁₇寻找相邻项的关系．

由题意S₉=S₁₇得a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a₁₇=0

而a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=a₁₂+a₁₅=a₁₃+a₁₄

∴a₁₃+a₁₄＝0，a₁₃=－a₁₄　 ∴a₁₃≥0，a₁₄≤0

∴S₁₃=169最大．

解法四　 根据等差数列前n项和的函数图像，确定取最大值时的n．

∵{a_n}是等差数列

∴可设S_n＝An²+Bn

二次函数y=Ax²+Bx的图像过原点，如图3．2－1所示

∵S₉＝S₁₇，

∴取n=13时，S₁₃＝169最大

122．作出函数y=tg2x|ctgx|的图象，写出它的单调区间．