题目列表(包括答案和解析)

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[例4] 某鱼塘养鱼,由于改进了饲养技术,预计第一年产量的增长率为200%,以后每年的增长率是前一年增长率的一半,设此鱼塘里原来的鱼储存量为a.

(1)写出改进饲养技术后的第一年、第二年、第三年、第四年的产量,并写出第n年与第(n-1)年(n∈N且n≥2)的产量之间的关系式(不要求证明).

(2)由于环境污染及池塘老化等因素,致使每年将损失年产量的10%,这样以后每年的产量是否始终逐年提高?若是,请予以证明;若不是,请说明从第几年起产量将不如上一年.(lg2=0.3010,lg3=0.4771)

解:(1)不妨设改进技术后第n年的产量为an,则

a1=a(1+200%)=3a,a2=a1(1+×200%)=6a,

a3=a2(1+×200%)=9a,a4=a3(1+×200%)=a.

依此,得an=an-1(1+×200%)=an-1[1+()n-2](n∈N*,n≥2).

(2)设遭损失后第n年的产量为bn,则

b1=a1(1-10%),b2=b1(1+×200%)(1-10%),…,

bn=bn-1[1+()n-2](1-10%).

bnbn-1,则0.9[1+()n-2]<12n-2>9,

n-2>,即n>5.17.由n∈N*n≥6.

故从第6年起,产量将不如上一年.

评注:这是一道数列型应用题,审题时应抓住从第二年开始,"以后每年的增长率是前一年增长率的一半"这个关键,把它抽象为数列的通项,容易求出递推关系式an=an-1[1+  ()n-2](n∈N*n≥2),即建成了递推模型.第(2)问归结为一个指数不等式问题,利用取对数法很容易求得这个数学问题的解.

●试题详解

高中同步测控优化训练(十一)

第三章 数列(一)(A卷)

说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分,共100分,考试时间90分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共30分)

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[例3] 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范围;

(2)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.

(1)解:依题意有

a3=12,得a1=12-2d.

d<-3.

(2)解法一:由d<0,可知a1a2a3>…>a12a13.

因此,若在1≤n≤12中,存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

由于S12=6(a6+a7)>0,S13=13a7<0,即a6+a7>0,a7<0,由此得a6>-a7>0.

故在S1S2,…,S12S6的值最大.

解法二:Sn=na1+d

=n(12-2d)+n(n-1)d=n2-(-12)n

=n(5-)]2(5-)]2.

d<0,∴[n(5-)]2最小时,Sn最大.

当-d<-3时,6<(5-)<6.5.

n=6时,[n(5-)]2最小.

S6最大.

解法三:由d<0,可知a1a2a3>…>a12a13.

因此,若在1≤n≤12中,存在自然数n,使得an>0,an+1<0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.

由已知

故在S1,S2,…,S12S6的值最大.

评注:第(2)题用了三种方法来解,解法一与解法三类似,只是确定a6>0,a7<0的方法不同,解法一技巧性强,解法二是把问题转化成了有限制条件的一元二次函数最值问题.

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[例2] 已知等差数列{an}为等差数列,pq,ap=q,aq=p,求ap+q.

分析:可先转化为a1d去探索,也可利用等差数列性质求解,还可利用一次函数图象来解.



 
解法一:                   

相减得(pq)d=qp,∵pq,∴d=-1.代入①,

a1=p+q-1.故ap+q=a1+(p+q-1)d=0.

解法二:ap=aq+(pq)d,∴q=p+(pq)d,以下同解法一.

解法三:不妨设p<q,由于an为关于n的一次函数图象上均匀排列的一群孤立点.故(p,ap)、(q,aq)、(p+q,ap+q)三点在同一直线上,如图.

由△ABE∽△BCF得(设ap+q=m)

∴1=.设m=0,得ap+q=0.

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[例1] 等差数列{an}的前n项和记为Sn.已知a10=30,a20=50.

(1)求通项an;

(2)若Sn=242,求n.

分析:在等差数列中,有a1anndSn五个基本量,若已知其中的任何三个,总可以求出另外两个的值.

解:(1)由an=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,

得方程组

解得a1=12,d=2.

所以an=2n+10.

(2)由Sn=na1+d,Sn=242,得方程12n+×2=242.

解得n=11或n=-22(舍去).

评注:本题是一个最基础的数列题,内容上只涉及等差数列的通项和前n项和.它主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及构造方程的数学方法,考查运算能力.知识点较为单一,但高考中仍不乏这类考查目的明确、适应所有考生的中低档题.

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18、 已知函数

 

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17、设其中

(1)(5分)    (2) (10分)   

选做题(20分)

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16、设集合

求(1) (8分)   (2)(7分)

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15、当__________

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14、____________

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13、计算机成本不断降低,若每搁3年计算机价格降低,现在价格为8100元的计算机,9年后价格可减为___________元

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