1.设全集I＝{a,b,c,d},集合M＝{a,b,c},集合N＝{b,d}，P＝{a,c,d}，则(　　 )

　 A. P＝()　　 B. P＝(M∪N)　 C. N＝(M∩P) 　D. N＝

　　∴不等式的解集为{X｜－t²－2≤X≤t²+1}.

(2)对于含有几个绝对值的代数式或不等式，可以用零点分段的方法去掉绝对值符号.　　 例7 (1)解方程：｜X－3｜+｜X+2｜＝6;

　　　 　　 (2)解不等式：｜X+2｜+｜X－1｜＜5.

　 　解　 　(1)零点为3，－2,分三段讨论.

　　 　　当X＜－2,方程为3－X－(X+2)＝6,X＝－；

　　　　 当－2≤X≤3,方程为3－X+X+2＝6,5＝6,无解；

　　　　 当X＞3，方程为X－3+X+2＝6,X＝.

　　　　　　 ∴方程的解集为{－, }.

　　　　 (2)当X＜－2,不等式为(1－X)－(X+2)＜5,X＞－3,∴－3＜X＜－2;

　　　　　　 当－2≤X≤1,不等式为(1－X)+(X+2)＜5，3＜5,∴－2≤X≤1；

　　　　　　 当X＞1，不等式为(X－1)+(X+2)＜5,X＜2,

　　　　　　 ∴1＜X＜2.

　　　　　　 ∴不等式的解集为{X｜－3＜X＜2}.

　　 评析 　①所谓“零点”,即使绝对值为零的X的值.若有n个零点，则分n+1个情况讨论.由于在每区间内可以去掉绝对值符号，就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.

　　 ②在每一区间中求方程或不等式的解时，所求得的解必须在这个区间中.

③上面的解法是含有绝对值的问题的基本方法，这两题也可以从绝对值的几何意义直接得到它们的解.

　　　　 －2 －1　 0　 1　 2　 3　　　　　　 x　　

　　 解 ｜X－3｜+｜X+2｜＝6，即求数轴上到3和－2的对应点距离和等于6的点所对应的数．由数轴知，3－(－2)＝5，所以该点在3对应点的右边或在－2对应点左边个单位，即X＝3或X＝－2.

　　 解 ｜X －1｜+｜X+2｜＜5，即求数轴上到1和－2对应点距离和小于5的点所对应数的范围．由数轴知，1－(－2)＝3，所以X应满足－3＜X＜2.

　　　　　　　　 －2　 －1 0　 1 　2　 3　　　　　　　 x

3.一元二次不等式

　　 (1)一元二次方程aX²+bX+c＝0(a≠0)解的符号情况：

　 方程有两个正根

方程有两个负根

方程有一个正根一个负根X₁·X₂＝＜0(此时必有Δ＞0).

　　 (2)一元二次不等式.只要熟练掌握相应的抛物线与X轴位置关系，就能迅速准确地求得不等式的解.对于不等式aX₂+bX+c＞0(＜0)，实际上就是要求抛物线y＝aX²+bX+c在X轴上方(下方)的点的横坐标的范围.

借助于图象，把一元二次不等式的解的情况列表如下(设a＞0):

Δ的情况	图象	不等式	不等式的解
Δ＞0		ax2+bX+c＞0	X＜X1或X＞X2
ax2+bX+c＜0	X1＜X＜X2
Δ＝0		ax2+bX+c＞0	X≠X1
ax2+bX+c＜0	X∈Æ
Δ＜0		ax2+bX+c＞0	X∈R
ax2+bX+c＜0	X∈Æ

　　 对于含有等号的不等式或a＜0的情况，类似地可以由图象得出不等式的解.但习惯上解一元二次不等式时，常使二次项系数a＞0.

　　 例8 　已知关于X的方程(k－1)X²+(k+1)X+k+1＝0有两个相异实根，求实数k的取值范围.

　解 　由题设，得

　　 由②，(k+1)(k+1－4k+4)＞0,－1＜k＜.

　　 ∴实数k的取值范围为－1＜k＜,且k≠1.

评析　 ①两个“相异”实数根即两个不等的实数根，不同于两个“异号”实数根.

　　 ② 当二次项系数含有字母时，要注意仅当二次项系数不等于零时方程才有判别式.

　　 例9　 已知m、n是关于X的方程X₂－2X+t＝0的两个实数根。m³+n³有没有最大或最小值?如有请求出最值；如没有，请说明理由.

解　 ∵Δ＝(－2)²－4·1·t≥0,　 ∴t≤1，

　由韦达定理，m+n＝2,mn＝t

　m³+n³＝(m+n)［(m+n)²－3mn］

　　 ＝2·(2²－3t)

　　 ＝8－6t

　　 ≥8－6×1＝2.

　∴m³+n³的最小值为2，无最大值.

评析　 题中“两个实数根”是通常所说的隐含条件，它实际上暗示我们不要遗漏判别式大于或等于零的条件，在审题时一定要引起注意.

例10 解不等式：(1)≤0；(2) ≤1；

　　　　(3) 　＞－1.

解 　(1)∵X²－2X+2＝(X－1)²+1＞0,

　　　 ∴原不等式与不等式X²－6X+5≤0同解.

　　　 ∴原不等式的解为1≤X≤5.

　　 (2) －1≤0，≤0.

　　　 ∵X²－2X+2＞0，∴－4X+3≤0.

　　　 ∴原不等式的解为X≥.

　　 (3)由＞0，得　 　＞0.

　　　　 ∵X²－2X+2＞0,∴X²－2X－2＞0.

　　　　 ∴原不等式的解为X＜1－或X＞1+.

评析　 上面(2)、(3)两题都是采用“移项”、“通分”的方法解分式不等式，这是解分式不等式的基本方法.当分母的符号不能确定时，千万不能用两边同乘以分母的方法去分母，因为若分母为正，去分母后不等号方向不变，若分母为负，去分母后不等号要改变方向.如(3)，若两边同乘以分母X²－2X－2，把不等式变成4＞－X²+2X+2，即X²－2X+2＞0　 ①，不等式①的解集为R，显然原不等式的解集{X｜X＜1－,或X＞1+}R，两个不等式不同解.当然，假如分母的符号可以确定的话，还是可以去分母的。如题(2)，因X²－2X+2＞0，两边同乘以X²－2X+2，原不等式变形为X²－6X+5≤X²－2X+2，解为X≥，与原不等式同解.

练习2

2.｜aX+b｜＜c,｜aX+b｜＞c型不等式

　 (1)设f(X)＝aX+b,一般地，有如下结论：

　 ①当c＞0时，｜f(X)｜＜c的解为－c＜f(X)＜c，｜f(X)｜＞c的解为f(X)＜－c或f(X)＞c

　 ②当c＝0时，｜f(X)｜＜c无解，｜f(X)｜＞c的解即f(X)≠0的解.

　 ③当c＜0时，｜f(X)｜＜c无解，｜f(X)｜＞c的解是全体实数.

　 例5　 求满足｜2X－1｜＝｜3X+4｜的X的值.

解 由绝对值的定义，2X－1＝3X+4或2X－1＝－(3X－4),∴X＝－5或X＝－.

　 例6 　求下列不等式的解集:

　 (1)2＜｜3X－1｜≤5；(2)｜2X+1｜≤t²+3(t∈R)．

解　①不等式的解即不等式组的解：

　　　 3x－1＜－2或3x－1＞2

　　－5≤3x－1≤5

　　3＜－或x＞1

　　－≤x≤2

　　∴不等式的解集为{X|≤－≤X＜－,或1＜X≤2}．

　　②∵t∈R，∴t²+3＞0.

1．补集

　 (1)全集?全集是一个相对的概念，它含有与所研究的问题有关的各集合的全部

元素.在研究不同问题时，全集也不一定相同.

　　 (2)补集?必须注意，是对于给定的全集I而言的，在不同的问题中全集可能不同，也可能不同.如A＝{1，2}，当I＝{1，2，3，4}时，＝{3，4}；当I＝{1，2，3，4，5，6，7，8}时，＝{3，4，5，6，7，8}.

　 例1　 已知I＝R,A＝{X｜1＜X≤3}，求， A∪，A∩

解 　　＝{X｜X≤1，或X＞3}.

　　　 A∪＝{X｜1＜X≤3}∪{X｜X≤1，或X＞3}＝R＝I,

　　　 A∩＝{X｜1＜X≤3}∩{X｜X≤1，或X＞3}＝Æ.

说明　 在开始学习解这类题时，应画出数轴并借助于数轴求解，否则容易出错.

　 例 2 　已知I＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{3,4,5},B＝{4,5,6},求,，∪,A∩B,?.

解 　＝{1,2,6}, ＝{1,2,3}，∪{1,2,3,6},

　　 A∩B＝{4,5}，?＝{1，2，3，6}.

　评析 　由例2，有()＝∪.可以通过韦恩图验证，这个等式对任意的集合A、B、I都能成立.

　 例3　 已知I＝R,A＝{X｜X≥3}，B＝{X｜X≤1}，求，，∪，.

解 　＝{X｜X＜3}, ＝{X｜X＞1}，

　　 ∩＝{X｜1＜X＜3}，

　　　 A∪B＝{X｜X≤1或X≥3}，

　　　 ()＝{X｜1＜X＜3}.

评析 　由例3,有()＝∩，可以通过韦恩图验证，这个等式对任

意的集合A、B、I都能成立.

　 例4 　用n(A)表示有限集A的元素的个数.

　 (1)已知n(A)＝20,n(B)＝15,n(A∪B)＝28,求n(A∩B)；　A　　B

　 (2)已知n(A∩B)＝4,n(A∪B)＝18,n(A)＝10,求n(B)

解(1)设n(A∩B)＝X，由韦恩图，　　　　　　　 　　　 20－x　x　15－x

　　 ∵n(A∪B)＝28,

　　 ∴(20－X)+X+(15－X)＝28,

　　 ∴X＝7,即n(A∩B)＝7.　　　　　　　　　　　　　　　 A　　　　 B

　 (2)设集合B中不属于A的无素有X个.

　　 由韦恩图，及n(A∪B)＝18，　　　　　　10－4＝6　4　 x

　　 10+X＝18,∴X＝8.

　　 ∴n(B)＝4+8＝12.

评析 可以用韦恩图验证，一般地有n(A∪B)＝n(A)+n(B)－n(A∩B)．但不必硬记这个式子，在涉及到有限集的元素个数时，通常只要适当地设未知数，然后利用韦恩图及已知条件，就可以求得结果.

1．并集.2.｜aX+b｜＜C，｜aX+b｜＞C型不等式.3?一元二次不等式.

1.(代数)2-1.4(P13-26)

21、(16分)已知，，且，求：

(1)·及；

　　 (2)的最小值为－，求实数的值.

20、(16分)求与圆C：相切，且在轴、轴上的截距相等的直线方程。　

19、(15分)如图：正三角形ABC与直角三角形BCD所在平面互相垂直，且　　　　　　 ，

(1)求证：；

(2)求二面角的正切值．

18、(14分) 在5件产品中，有3件一等品，2件二等品，从中任取2件，求：(1)恰有1件一等品的概率；

　　　　　　　 　　　　　(2)至少有1件一等品的概率。