3．在△ABC中，若，判断△ABC的形状。

解一：由正弦定理：

∴2A = 2B 或 2A = 180° - 2B　 即：A= B 或 A + B = 90°

∴△ABC为等腰或直角三角形

解二： 由题设：

化简：b²(a² + c² - b²) = a²(b² + c² - a²)　 ∴(a² -b²)(a² + b² - c²)=0

∴a = b或 a² + b² = c²　 ∴△ABC为等腰或直角三角形

2．已知：在△ABC中，ÐA=45°，AB=，BC=2，解此三角形。

解一：

　　　 ∴当ÐC = 60°时,　 ÐB = 75°　 ∴

∴当ÐC = 120°时,　 ÐB = 15°　 ∴

　　　　 解二：设AC = b，由余弦定理：

即：　 　解得：

再由余弦定理：　 ∴ÐC = 60°或120°, ÐB = 75°或15°

1．证明射影定理：a = bcosC + ccosB；b = acosC + ccosA；c = acosB + bcosA

证一：右边 == 左边

证二：右边 = 2RsinBcosC + 2RsinCcosB=2Rsin(B+C)=2RsinA= a = 左边

其余两式同

7．如图，AD、BE、CF是△ABC的三条高，

求证：AD、BE、CF相交于一点。

证：设BE、CF交于一点H，

= a, = b, = h,

则= h - a , = h - b , = b - a

∵^,　 ^

∴

∴^

又∵点D在AH的延长线上，∴AD、BE、CF相交于一点

6．用向量方法证明：菱形对角线互相垂直。

　 　证：设== a , == b

　　　 　∵ABCD为菱形　　 ∴|a| = |b|

　　 　　∴×= (b + a)(b - a) = b² - a² = |b|² - |a|² = 0

　　 　　∴^

5．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a - 5b垂直，

　 　a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。

　　　 　解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a² + 16a×b -15b² = 0　　 ①

　　　　 　　　(a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a² - 30a×b + 8b² = 0　　 ②

　　　　 　两式相减：2a×b = b²

　　　　 　代入①或②得：a² = b²

设a、b的夹角为q，则cosq =　

∴q = 60°

4．已知非零向量a、b，满足a ¹±b，

求证：b-a垂直于a+b的充要条件是|a| = |b|

证：由题设：b-a与a+b均为非零向量

必要性：设b-a垂直于a+b，则(b-a)(a+b) = 0

　 又：(b-a)(a+b) = b² - a² = |b|² - |a|²

∴|b|² - |a|² = 0　　 即：|a| = |b|

充分性：设|a| = |b|，则(b-a)(a+b) = b² - a² = |b|² - |a|² = 0

即：(b-a)(a+b) = 0　 ∴(b-a) ^ (a+b)

3．设非零向量a、b、c、d，满足d = (a•c) b - (a•b)c，求证：a^d

证：内积a•c与a•b均为实数，

∴a•d = a•[(a•c) b - (a•b)c] = a•[(a•c) b] - a•[(a•b)c]

= (a•b)(a•c) - (a•c)(a•b) = 0

　　　　　　 ∴a^d

2．求证：|a + b |≤|a| + |b|

证：|a + b |² = (a + b)² = |a|² + |b|² + 2a•b = |a|² + |b|² + 2|a||b|cosq

≤ |a|² + |b|² + 2|a||b| = ( |a| + |b| )²

即：|a + b |≤|a| + |b|

1．已知|a| = 5，|b| = 8，a 与b的夹角为60°，求 |a + b |

解：a•b = |a||b|cos60° = 5×8×= 20

∴|a + b |² = (a + b)² = |a|² + |b|² + 2a•b = 129

∴|a + b | =