a - 4b与7a - 2b垂直，求a与b的夹角。

　　　 解：由(a + 3b)(7a - 5b) = 0 Þ 7a² + 16a×b -15b² = 0　　 ①

　　　　　　 (a - 4b)(7a - 2b) = 0 Þ 7a² - 30a×b + 8b² = 0　　 ②

　　　　　 两式相减：2a×b = b²

　　　　　 代入①或②得：a² = b²

　　　　　 设a、b的夹角为q，则cosq =　 ∴q = 60°

　 证：设== a , == b

　　　 ∵ABCD为菱形　　 ∴|a| = |b|

　　　 ∴×= (b + a)(b - a) = b² - a² = |b|² - |a|² = 0

　　　 ∴^

　　　 且= 4i + 2j，=3i + 4j，

　　　 证明：△ABC是直角三角形，并求它的面积。

　 解：= (4, 2), = (3, 4), 则= (3-4, 4-2) = (-1, 2), = (-4, -2),

　　　 ∴×= (-1)×(-4) + (-2)×2 = 0　 ∴^

　　　 即△ABC是直角三角形

　　　 || =,　 || =,　 且ÐB = 90°,

　　　 ∴S_△ABC =

　 解：由题设：a×b = |a||b|cosa = 3××= 3

　　　 (a+b)×(a+b) =|a|² +|b|² + (² + 1)a×b = 3² + 11 + 3

　　　 ∵夹角为锐角　 ∴必得3² + 11 + 3 > 0

　　　 ∴ 或

　　　 则下列推导不正确的是……………(D)

　　　 A．若a ×b < 0，则△ABC为钝角三角形。

　　　 B．若a ×b = 0，则△ABC为直角三角形。

　　　 C．若a ×b = b×c，则△ABC为等腰三角形。

D．若c×(a + b + c) = 0，则△ABC为正三角形。

　　　　 解：A．a×b = |a||b|cosq < 0，则cosq < 0，q为钝角

　　　　　　 B．显然成立

　　　　　　 C．由题设：|a|cosC = |c|cosA，即a、c在b上的投影相等

　　　　　　 D．∵a + b + c = 0, ∴上式必为0，∴不能说明△ABC为正三角形

　　　 且a×b = b×c = c×d = d×a，问ABCD是怎样的四边形？

　 解：由题设：|a|×|b|cosB = |b|×|c|cosC = |c|×|d|cosD = |d|×|a|cosA

　　　 ∵|a| = |c| , |b| = |d|　 ∴cosA = cosB = cosC = cosD = 0

　　　 ∴　 ABCD是矩形

　 解：|a+b|² = |a|² + 2a×b + |b|² = 4 + 2×2×1×cos + 1 = 7

　　　 ∴|a+b| =,　 同理：|a-b|² = 3, |a-b| =　 ∴|a+b|×|a-b| =

　　　 A．充分不必要条件　　　　　 B．必要不充分条件　

　　　 C．充要条件　　　　　　 　　D．既不充分也不必要条件

　　　 解：若|a+b| = |a-b| Û |a+b|² = |a-b|² Û |a|² + 2a×b + |b|² = |a|² - 2a×b + |b|²

　　　　　　 Û a×b = 0 Û a^b

3．平移的有关概念、公式

2．平面向量数量积的坐标表示，有关长度、角度、垂直的处理方法