题目列表(包括答案和解析)
2.(本题满分13分)
已知f(x)=loga(a >0,a ≠1).
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的单调性,并予以证明;
(3)求使f(x)>0的x取值范围.
[略解](1)∵ >0,∴ f(x)定义域为(-1,1).
(2)设-1<x1<x2<1,则
f(x1)-f(x2)=loga-loga=loga
=loga
∵ -1<x1<x2<1,∴ x2-x1>0,
∴ (1-x1x2)+(x2-x1)>(1-x1x2)-(x2-x1)
即 <1.
∴ 当a >1 时,f(x1)<f(x2),在(-1,1)上是增函数.
当0<a <1时,f(x1)>f(x2),在(-1,1)上是减函数.
(3)当a >0时,欲f(x)>0,则有>1,解得0<x<1.
当0<a <1时,欲f(x)>0,则有0<<1,解得-1<x<0.
[点评]本题综合考查了函数的定义域;用定义证明函数的单调性,对数的有关概念及解不等式的问题.
1.(本题满分12分)
设函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且在[0,1上是减函数,若f(t-1)+f(2 t -1)>0,求t 的取值范围.
[略解]由已知,f(2 t -1)>-f(t -1)=f(1-t)(*),
又f(x)在[0,1)上是减函数且是奇函数,
∴ f(x)在(-1,1)上是减函数,故(*)式等价于:
0<t <为所求.
[点评]本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在由函数值的大小关系,利用单调性得两个自变量值之间的关系时,一定要将两个自变量落在同一个单调区间内.
5.方程log2(9 x-1+7)=2+log2(3 x-1+1)的解为________.
[答案]x=1或x=2.
由9 x-1+7=4(3 x-1+1),得(3x-1) 2-4 · 3 x-1+3=0,故3 x-1=1或3可解.
4.函数y=2 lg(x-2)-lg(x-3)的最小值为_________.
[答案]x=4时,y min=lg 4.
3.已知f(n)= n ∈N,则f(5)的值等于________.
[答案]8.
[点评]考查对对应法则f的理解.f(5)=f [ f(5+5)]=f [ f(10)]=f(10-3)=f(7)
=f [ f(7+5)]=f(12-3)=f [ f(9+5)]=f(14-3)=f(11)=11-3=8.
2.已知函数f(x)的定义域是[-1,2] 则函数f(x2)的定义域是________.
[答案][-,].
[提示]解不等式:-1≤ x2≤2可得.
∴ 0≤ | x|≤,∴ -≤ x≤.
1.若函数y=,x∈[-2,-1],则其反函f -1 (x)=______.
[答案]f -1 (x)=-(-≤x≤-).
[点评]要切实掌握好求反函数的一般步骤,还需特别注意,反解x时,x的取值范围,如本题中,由x2=+6,求x时,开方应取“负”.另外,求反函数,必须证明反函数的定义域,可通过求原函数的值域完成.
6.下列命题中,正确的命题是( ).
(A)y=2 lg x与y=lg x2是同一个函数
(B)已知f(x)是定义在R上的一偶函数,且在[a,b ]上递增,则在[-b,-a ]上也递增
(C)f(x)=| log2 x|是偶函数
(D)f(x)=loga ()的奇函数
[答案](D).
[提示](A)中两个函数的定义域不同,前者x>0,后者x≠0;(B)中,在[-b,-a]上应递减;(C)中f(x)的定义域是x>0,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
5.已知1< x<d,令a=(logd x) 2,b=logd (x2 ),c=logd (logd x),则( ).
(A)c <b <c (B)a <c <b
(C)c <b <a (D)c <a <b
[答案](D).
[点评]比较大小采用的方法之一是“中间值”法,如本题中将a,b,c 先与0比较,知a >0,b >0,而c <0.利用“函数的单调性”或“比较法”等可解.
4.设f(x)=ax7+bx3+cx-5其中a,b,c 为常数,如f(-7)=7,则f(7)等于( ).
(A)-17 (B)-7 (C)14 (C)21
[答案](A).
[点评]本题考察函数奇偶性的灵活运用,f(x)是一个非奇非偶函数,注意到:f(x)=g(x)-5,而g(x)是一个奇函数,由f(-7)=g(-7)-5=7,得g(-7)=-12,故f(7)=g(7)-5=-12-5=-17.
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