题目列表(包括答案和解析)

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2.(本题满分13分)

已知f(x)=loga(a >0,a ≠1).

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的单调性,并予以证明;

(3)求使f(x)>0的x取值范围.

[略解](1)∵  >0,∴  f(x)定义域为(-1,1).

(2)设-1<x1x2<1,则

f(x1)-f(x2)=loga-loga=loga

=loga

∵  -1<x1x2<1,∴  x2x1>0,

∴  (1-x1x2)+(x2x1)>(1-x1x2)-(x2x1)

<1.

∴  当a >1 时,f(x1)<f(x2),在(-1,1)上是增函数.

当0<a <1时,f(x1)>f(x2),在(-1,1)上是减函数.

(3)当a >0时,欲f(x)>0,则有>1,解得0<x<1.

当0<a <1时,欲f(x)>0,则有0<<1,解得-1<x<0.

[点评]本题综合考查了函数的定义域;用定义证明函数的单调性,对数的有关概念及解不等式的问题.

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1.(本题满分12分)

设函数yf(x)是定义在(-1,1)上的奇函数,且在[0,1上是减函数,若f(t-1)+f(2 t -1)>0,求t 的取值范围.

[略解]由已知,f(2 t -1)>-f(t -1)=f(1-t)(*),

f(x)在[0,1)上是减函数且是奇函数,

∴  f(x)在(-1,1)上是减函数,故(*)式等价于:

  0<t 为所求.

[点评]本题考查函数的奇偶性和单调性的应用.在由函数值的大小关系,利用单调性得两个自变量值之间的关系时,一定要将两个自变量落在同一个单调区间内.

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5.方程log2(9 x-1+7)=2+log2(3 x-1+1)的解为________.

[答案]x=1或x=2.

由9 x-1+7=4(3 x-1+1),得(3x-1) 2-4 · 3 x-1+3=0,故3 x-1=1或3可解.

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4.函数y=2 lg(x-2)-lg(x-3)的最小值为_________.

[答案]x=4时,y min=lg 4.

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3.已知f(n)=  n ∈N,则f(5)的值等于________.

[答案]8.

[点评]考查对对应法则f的理解.f(5)=f [ f(5+5)]=f [ f(10)]=f(10-3)=f(7)

f [ f(7+5)]=f(12-3)=f [ f(9+5)]=f(14-3)=f(11)=11-3=8.

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2.已知函数f(x)的定义域是[-1,2] 则函数f(x2)的定义域是________.

[答案][-].

[提示]解不等式:-1≤ x2≤2可得.

∴ 0≤ | x|≤,∴  -x

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1.若函数yx∈[-2,-1],则其反函f -1 (x)=______.

[答案]f -1 (x)=-(-x≤-).

[点评]要切实掌握好求反函数的一般步骤,还需特别注意,反解x时,x的取值范围,如本题中,由x2+6,求x时,开方应取“负”.另外,求反函数,必须证明反函数的定义域,可通过求原函数的值域完成.

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6.下列命题中,正确的命题是(   ).

(A)y=2 lg xy=lg x2是同一个函数

(B)已知f(x)是定义在R上的一偶函数,且在[ab ]上递增,则在[-b,-a ]上也递增

(C)f(x)=| log2 x|是偶函数

(D)f(x)=loga ()的奇函数

[答案](D).

[提示](A)中两个函数的定义域不同,前者x>0,后者x≠0;(B)中,在[-b,-a]上应递减;(C)中f(x)的定义域是x>0,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

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5.已知1< xd,令a=(logd x) 2b=logd (x2 ),c=logd (logd x),则(  ).

(A)c b c   (B)a c b

(C)c b a   (D)c a b

[答案](D).

[点评]比较大小采用的方法之一是“中间值”法,如本题中将abc 先与0比较,知a >0,b >0,而c <0.利用“函数的单调性”或“比较法”等可解.

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4.设f(x)=ax7+bx3+cx-5其中abc 为常数,如f(-7)=7,则f(7)等于(   ).

(A)-17   (B)-7   (C)14    (C)21

[答案](A).

[点评]本题考察函数奇偶性的灵活运用,f(x)是一个非奇非偶函数,注意到:f(x)=g(x)-5,而g(x)是一个奇函数,由f(-7)=g(-7)-5=7,得g(-7)=-12,故f(7)=g(7)-5=-12-5=-17.

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