3．　 前n项和公式：S_n= =na₁+。若d0,表示S_n是n的二次函数，且常数项为零；若d=0，表示S_n=na₁.

2．　 通项公式：a_n=a₁+(n-1)d=nd+(a₁-d)。若d，表示a_n是n的一次函数；若d=0，表示此数列为常数列。

第七单元　 等差数列

[重点]

等差数列的概念、等差数列的通项公式、等差数列的前n项和公式。

1．　 定义：数列{a_n}若满足a_n+1-a_n=d(d为常数)称为等差数列，d为公差。它刻划了“等差”的特点。

4．(本题共13分)

已知函数f(x)＝lg(a ^x－b ^x)(a ＞1＞b ＞0)

(1)求f(x)的定义域；

(2)判断f(x)的单调性，并予以证明；

(3)当a，b 满足什么关系时，f(x)在(1，+∞)内取正值，而不在(1，+∞)上则不取正值．

[略解](1)a ^x－b ^x＞0 () ^x＞1，而＞1，

∴　 f(x)的定义域为：x＞0，

(2)利用函数单调的定义证明f(x)在(0，+∞)上是增函数，(略)

(3)利用(2)的解法及所给条件应有f(1)＝0．即由lg(a －b)＝0，故a －b＝1为所求．

3．(本题共13分)

已知函数f(x)＝lg(ax²+2 x+1)，

(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

[略解](1)ax²+2 x+1＞0恒成立，只需D＝4－4 a ＜0，且a ＞0，即a ＞1，满足题意．

(2)若f(x)的值域为R，则需u＝ax²+2 x+1能取遍一切正数，需满足a ＞0且

D＝4－4 a ≥0，即0＜a ≤1为所求．

[点评]

许多同学做此题时，不能理解(2)题的题意，关键是欲使f(x)的值域为R，则必需u＝ax²+2 x+1能取遍一切正数，所以抛物线的开口向上，且与x轴要有交点．

2．(本题共13分)

设0≤x≤1，x为变量，a 为常数，求函数f(x)＝ (4－3 a) x²－2 x+a 的最大值．

[略解]若4－3 a＝0，则f(x)＝－2 x+是单调减函数，

∴　 f(x)最大值为f(0)＝a＝；

若4－3 a ≠0，则f(x)为二次函数，其对称轴方程为：

x＝，

f(0)＝a，f(1)＝2－2 a．

当a ＞时，f(0)＞f(1)；

当a ＜时，f(0)＜ f(1)；

∴　 f(x)的最大值为f(1)＝2－2 a ；

当a 取其他实数时，f(x)的最大值为f(0)＝a ．

[点评]二次函数是中学数学中的重要函数之一．二次函数的有关性质，特别是在闭区间上求二次函数的最值问题应该熟练掌握．本题中的二次函数含有参数a，应注意分类讨论思想的应用．

1．(本小题共12分)

等腰梯形ABCD 下底AB＝10，上底DC＝4，两腰AD＝BC＝5，动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动，设P 点移动的距离为x，△ABP 的面积为y，求函数y＝f(x)．

[略解]如图，可知等腰梯形的高为4，当P 点运动到P₁位置时，△AP₁B的高P₁H₁＝．

∴　 此时＝×10×，

当P 点运动到P₃位置时，△AP₃B的高P₃H₃满足：

＝，

此时＝×10×，

当P点在CD上时，＝h×AB＝×4×10＝20

∴　 y＝

[点评]画图，利用图形思考，是一项基本功．本题运用的分类讨论思想，数形结合思想是中学数学中重要的思想方法．

5．已知函数f(x)是R 上的奇函数，且当x∈(0，+∞)时，f(x)＝x(1+)，那么当x∈(－∞，0)时，f(x)＝__________．

[答案]本题中的f(x)是一个分段函数，要能够正确运用奇函数的性质，利用x＞0时函数的解析式，得出x＜0时的解析式．要注意求谁的解析式以谁为主，设x＜0，则

－x＞0，

∴　 f(－x)＝－x(1+)＝－x(1－)，而f(－x)＝－f(x)．

∴　 f(x)＝x(1－)．

4．函数y＝log_0.5(x²+x－6)的单调区间是___________．

[答案]增区间为(－∞，－3)，减区间为(2，+∞)．

[点评]复合函数的单调性问题，要注意增增“增”、减增“减”、增减“减”、减减“增”等规律．y＝log_0.5 u是减函数，因此只要求出u＝x²+x－6的单调区间即可，本题容易忽视函数的定义域而导致错误．

3．函数f(x)＝log₂(3－2 x－x²)的值域是___________．

[答案](－∞，2．

[点评]复合函数的值域问题，要注意先求函数的定义域，从而求出u＝3－2 x－x²＞0的值域，再利用对数函数y＝log₂ ^u性质求得答案．