15.(本小题满分8分)已知函数f(x)=log²x－logx+5,x∈［2,4］，求f(x)的最大值及最小值.

考查函数最值及对数函数性质.

[解] 令t=logx,∵x∈［2,4］,t=logx在定义域递减有

log4<logx<log2，∴t∈［－1,－］

∴f(t)=t²－t+5=(t－)²+,t∈［－1,－］

∴当t=－时，f(x)取最小值

当t=－1时，f(x)取最大值7.

14.f(x)=，则f(x)值域为______.

考查分段函数值域.

[解析] x∈(－∞,1］时,x－1≤0,0<3^x－1≤1,

∴－2<f(x)≤－1

x∈(1,+∞)时，1－x<0,0<3^1－x<1,∴－2<f(x)<－1

∴f(x)值域为(－2,－1］

[答案] (－2,－1］

13.若不等式3>()^x+1对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为______.

考查指数函数单调性及化归能力.

[解析] 由题意：x²－2ax>－x－1恒成立

即x²－(2a－1)x+1>0恒成立

故Δ=(2a－1)²－4<0－<a<

[答案] －<a<

12.当x∈(1,2)，不等式(x－1)²<log_ax,则a的取值范围是_____________.

考查对数函数图象及数形结合思想.

[解析] 考查两函数y=(x－1)²及y=log_ax图象可知a∈(1,2］

[答案] (1,2］

11.方程log₂(2－2^x)+x+99=0的两个解的和是______.

考查对数运算.

[解析] 由原式变形得2－2^x=

设2^x=y,变形得:2⁹⁹y²－2¹⁰⁰y+1=0y₁y₂=2^－99=2

∴x₁+x₂=－99

[答案] －99

10.已知f(x)=x²－bx+c,且f(0)=3,f(1+x)=f(1－x),则有(　　 )

A.f(b^x)≥f(c^x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f(b^x)≤f(c^x)

C.f(b^x)<f(c^x)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.f(b^x)、f(c^x)大小不确定

考查二次函数及函数单调性.

[解析] 由f(0)=3c=3,

由f(1+x)=f(1－x)知对称轴为x=1,∴b=2

①x=0,2^x=3^x,∴f(2^x)=f(3^x)

②x>0,1<2^x<3^x,∴f(2^x)<f(3^x)

③x<0,1>2^x>3^x,∴f(2^x)<f(3^x)

[答案] B

第Ⅱ卷(非选择题　 共70分)

9.已知函数y=f(2^x)定义域为［1，2］,则y=f(log₂x)的定义域为(　　 )

A.［1，2］　　　　　　　　　 B.［4，16］　　　　　　　　 C.［0，1］　　　　　　　　 D.(－∞,0］

考查函数定义域的理解.

[解析] 由1≤x≤22≤2^x≤4,

∴y=f(x)定义域为［2，4］

由2≤log₂x≤4,得4≤x≤16

[答案] B

8.若定义在区间(－1，0)内的函数f(x)=log_2a(x+1)满足f(x)>0,则a的取值范围是(　　 )

A.(0,)　　　　　　　　　　　 B.(0,　　　　　　　　　　　 C.(,+∞)　　　　　　　　　 D.(0,+∞)

考查对数函数的单调性.

[解析] f(x)=log_2a(x+1)>0=log_2a1

∵x∈(－1,0),∴x+1<1,

∴0<2a<1,即0<a<

[答案] A

7.已知函数y=f(x)的反函数为f^－1(x)=2^x+1,则f(1)等于(　　 )

A.0　　　　　　　　　　　　　　　 B.1　　　　　　　　　　　　　　　 C.－1　　　　　　　　　　　　　 D.4

考查反函数意义.

[解析] 令f(1)=x,则f^－1(x)=1,令2^x+1=1,∴x=－1

[答案] C

6.设函数f(x)=f()lgx+1,则f(10)值为(　　 )

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.－1　　　　　　　　　　　　　 C.10　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.

考查对数性质及函数对应法则理解.

[解析] ∵f(x)=f()lgx+1,∴f()=f(x)lg+1

∴f(10)=f()lg10+1,且f()=f(10)lg+1

解得f(10)=1.

[答案] A