6.已知f(x)=a^x,g(x)=log_ax(a>0且a≠1)，若f(3)g(3)<0,则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是(　　 )

[解析] ∵f(3)=a³>0,∴g(3)=log_a3<0,∴0<a<1

[答案] C

5.若函数f(x)=log₂(x－1)+log₂(x+2)的反函数为g(x),则g(2)等于(　　 )

A.1　　　　　　　　　　　　　　　 B.－3　　　　　　　　　　　　　 C.2　　　　　　　　　　　　　　　 D.2或－3

考查对数函数及互为反函数间的函数关系.

[解析] 依题意x=2

[答案] C

4.已知函数f(x)=时f［f()］的值是(　　 )

A.9　　　　　　　　　　　　　　　 B.　　　　　　　　　　　　　　　　　 C.－9　　　　　　　　　　　　　 D.－

考查对分段函数对应法则的理解.

[解析] f()=log₂=－2,

f(－2)=3^－2=

[答案] B

3.已知函数f(x)=log_a(2－ax)在［0，1］上为减函数，则a的取值范围是(　　 )

A.(0，1)　　　　　　　　　 B.(1，2)　　　　　　　　　 C.(0，2)　　　　　　　　　 D.［2，+∞)

考查对数函数定义域及单调性.

[解析] 由y=log_a(2－ax)单调性及2－ax>0对任意x∈［0,1］恒成立，可求得1<a<2.

[答案] B

2.设P={y|y=x²,x∈R},Q={y|y=2^x,x∈R},则(　　 )

A.Q=P　　　　　　　　　　　　 B.QP　　　　　　　　　　　　 C.P∩Q={2,4}　　　　　　　 D.P∩Q={(2,4)}

考查集合间关系及函数值域.

[解析] P=［0,+∞),Q=(0,+∞).

[答案] B

1.设f:x→y=2^x是A→B的映射，已知集合B={0,1,2,3,4},则A满足(　　 )

A.A={1，2，4，8，16}　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.A={0，1，2，log₂3}

C.A{0,1,2,log₂3}　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.不存在满足条件集合

考查映射概念、指数、对数运算.

[解析] A中每个元素在集合中都有象，令2^x=0，方程无解.

分别令2^x=1,2,3,4,解得x=0,1,log₂3,2.

[答案] C

19.(本小题满分12分)某种细菌每隔两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所须时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y是研究时间t的函数，记作y=f(t).

(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域.

(2)在所给坐标系中画出y=f(t)(0≤t<6)的图象.

(3)写出研究进行到n小时(n≥0，n∈Z)时，细菌的总数有多少个(用关于n的式子表示)？

考查函数应用及分析解决问题能力.

[解] (1)y=f(t)定义域为t∈［0,+∞),

值域为{y|y=2ⁿ,n∈N^*}

(2)0≤t<6时，为一分段函数

y=

图象如图

(3)n为偶数时，y=2

n为奇数时，y=2

∴y=

18.(本小题满分12分)设函数f(x)=|lgx|,若0<a<b,且f(a)>f(b),证明：ab<1.

考查对数函数性质、分类讨论思想.

[解] 由题设，显然a、b不能同在(1，+∞)

否则，f(x)=lgx,且a<b时，f(a)<f(b)与已知矛盾

由0<a<b可知，必有0<a<1

①当0<b<1时，

∵0<a<1,0<b<1,∴0<ab<1

②当b>1时，∵0<a<1

∴f(a)=|lga|=－lga,f(b)=|lgb|=lgb

由f(a)>f(b),得－lga>lgb，即>b,∴ab<1

由①②可知ab<1

17.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a^x－a^－x)(a>0且a≠1)是R上的增函数，求a的取值范围.

考查指数函数性质.

[解] f(x)的定义域为R，设x₁、x₂∈R,且x₁<x₂

则f(x₂)－f(x₁)= (a－a－a+a)

=(a－a)(1+)

由于a>0，且a≠1,∴1+>0

∵f(x)为增函数，则(a²－2)( a－a)>0

于是有，

解得a>或0<a<1

16.(本小题满分10分)已知f(x)=lg.

(1)求函数定义域.

(2)求f^－1(lg2).

考查函数性质，互为反函数的函数间关系.

[解] (1)由>0,得－1<x<1

∴函数f(x)的定义域为{x|－1<x<1}

(2)由lg=lg2=2x=－

∴f^－1(lg2)=－