16.(本小题满分10分)已知y=log₄(2x+3－x²).

(1)求定义域；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)求y的最大值，并求取最大值时x值.

考查对数函数、二次函数的单调性、最值.

[解] (1)由2x+3－x²>0,解得－1<x<3

∴f(x)定义域为{x|－1<x<3}

(2)令u=2x+3－x²，则u>0,y=log₄u

由于u=2x+3－x²=－(x－1)²+4

再考虑定义域可知，其增区间是(－1，1)，减区间是［1,

又y=log₄u为(0,+∞)增函数，

故该函数单调递增区间为?(－1，?1］，减区间为［1，3)

(3)∵u=2x+3－x²=－(x－1)²+4≤4

∴y=log₄u≤log₄4=1

故当x=1时，u取最大值4时，y取最大值1.

15.(本小题满分8分)已知函数f(x)=+lg.

(1)求此函数的定义域，并判断函数单调性.

(2)解关于x的不等式f［x(x－)］<.

[解] (1)f(x)=+lg=+lg(－1+)

要使f(x)有意义，即>0,∴f(x)的定义域为－1<x<1

设－1<x₁<x₂<1,则f(x₁)－f(x₂)=lg(－1+)－lg(－1+)

∵－1<x₁<x₂<1,∴0<x₁+1<x₂+1

∴－1+>－1+

∴f(x₁)>f(x₂),即f(x)在(－1,1)上为减函数

(2)∵f(0)=,∴f［x(x－)］<=f(0)

由(1)知f(x)在(－1,1)上为奇函数

∴,解得：

即不等式解集为(,0)∪(,)

14.国家规定的个人稿酬纳税方法是：不超过800元的不纳税，超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税；超过4000元按全部稿酬的11%纳税，某人出版了一本书，共纳税420元，他的稿费为______元.

考查函数应用及解决实际问题的能力.

[解析] 若其稿费为4000，则应纳税3200×14%=448>420

故稿费应小于4000元，设为x元

则(x－800)14%=420,解得x=3800(元)

[答案] 3800

13.设函数f(x)=，则满足f(x)=的值为______.

考查分段函数对应法则理解及对数运算.

[解析] 若x∈(－∞,1),有2^－x=,∴x=2，但2(－∞,;

若x∈(1,+∞)，有log₈₁x=

∴x=3符合题意

[答案] 3

12.函数f(x)=a^x(a>0且a≠1)在区间［1，2］上的最大值比最小值大，则a的值为______.

考查指数函数的单调性及解决问题的能力.

[解析] 当a>1时，f(x)为增函数，a²－a=,得a=

当0<a<1时，f(x)=a^x在［1，2］上为减函数，

有a－a²=a=,

故a=或

[答案] 或

11.方程log₃(1－2·3^x)=2x+1的解x=______.

考查对数与指数运算.

[解析] 3^2x+1=1－2·3^x，即3(3^x)²+2·3^x－1=0

解得3^x=,故x=－1

[答案] －1

10.今有一组实验数据如下：

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是(　　 )

A.v=log₂t　　　　　　　　　　　　　　 B.v=logt　　　　　　　　　　 C.v=　　　　　　　　　 D.v=2t－2

考查构建数学模型的能力，具开放性.

[解析] 五组数据，取近似值1.99≈2;4.04≈4;5.1≈5,18.01≈18，

代入验证可知v=最接近.

[答案] C

第Ⅱ卷(非选择题　 共70分)

9.若x₀是方程2^x=的解，则x₀∈(　　 )

A.(0.1,0.2)　　　　　　　　　 B.(0.3,0.4)　　　　　　　　　 C.(0.5,0.7)　　　　　　　　　 D.(0.9,1)

考查指数函数图象性质及估算能力.

[解析] 画出y=2^x，y=图象.

∵2^0.1<2^0.2<1,而>=5

排除A，同理排除B

2^0.5=≈1.414,2^0.7>2^0.5,

而=2,≈1.428

2¹>2^0.9>2^0.5≈1.414,而≈1.11

[答案] C

8.若定义运算a*b=，则函数f(x)=3^x_*3^－x的值域是(　　 )

A.(0,　　　　　　　　　　　　 B.［1,+　　　　　　　　　 C.(0,+∞)　　　　　　　　　　　　　　 D.(－∞,+∞)

考查函数值域及灵活运用能力.

[解析] 若3^x≥3^－x,即x≥0,则f(x)=3^－x

若3^x<3^－x,即x<0,则f(x)=3^x

故值域为(0，1］

[答案] A

7.若函数y=log(2－log₂x)的值域是(－∞,0)，则其定义域是(　　 )

A.x<2　　　　　　　　　　　　　 B.0<x<2　　　　　　　　　　　 C.0<x<4　　　　　　　　　　　 D.2<x<4

考查对数函数定义域、值域.

[解] 令2－log₂x=u,由题意知u>1,log₂x<1,故0<x<2.

[答案] B