2．集合M＝{x｜x＝2ⁿ－2^k，n、k N且n＞k}，集合P＝{x｜1901≤x≤2000且xN}则集合MP中所有元素的和为______________．

[提示]

∵　 x≥1901

∴　 2ⁿ＞1901

∴　 n≥11．

当n＝12时，2ⁿ－2^k 的最小值为2¹²－2¹¹＝2048＞2000

∴　 n＝11，进一步推理易知，k＝7或6，

∴　 MP＝{2¹¹，－2⁷，2¹¹，－2⁶}＝{1920，1984}

∴　 MP中各元素的和为 1920+1984＝3904．

[答案]3904．

[点评]运用不等式控制的方法求出n的值是解题关键．

1．已知I＝R，集合A、B都是实数集I的子集．A_IB＝x｜x²＜4，A_IB＝{x｜(x－4)(8－x)≥0}，_IA_IB＝{x｜x²－6 x－16＞0}，求则AB＝____________．

[提示]

A_IB＝x｜x²＜4＝x｜－2＜x＜2，

_IAB＝{x｜(x－4)(8－x)≥0}＝{x｜4≤x≤8}，

_IA_IB＝{x｜x²－8 x－16＞0}＝x｜x＞8或x＜－2．

由文氏图易知AB＝(A_IB)(_IAB)(_IA_IB)

将A_IB，_IAB，_IA_IB分别画在同一条轴上．

[答案]AB＝x｜2＜x＜4．

[点评]本题涉及的各集合关系较多，采用文氏图和数轴表示使集合间的各种关系较为直观．其中AB＝(_IAB)(A_IB)(_IA_IB)这一关系式可由集合的基本运算推出．

6．在坐标平面内，纵横坐标都是整数的点，叫做整点，我们用I表示所有直线的集合，M表示恰好通过一个整点的直线的集合，N表示不通过任何整点的直线的集合，P表示通过无穷整点的直线的集合，那么表达式正确的有几个(　　 )．

(1)MNP＝I

(2)N≠

(3)M≠

(4)P≠

(A)1　　 (B)2　　 (C)3　　 (D)4

[提示]构造出y＝x，y＝，y＝+，y＝x来说明(2)、(3)、(4)均是正确的，所以本题的难点在于证明过两个整点的直线一定过无数个整点．设直线ax+by＝G 过整点(x₀，y₀)，(x₀，y₀)易证直线必过整点((n+1)x₀－x_0，(n+1)y₀－y₀)所以直线ax+by＝G 必过无数个整点．

[答案](D)．

5．关于x的二次方程x²+(a²－1)x+a－2＝0的一个根比1大，另一个根比1小的充要条件是(　　 )．

(A)－1＜a＜1　　　 (B)a＜－1或a＞1

(C)－2＜a＜1　　　 (D)a＜－2或a＞1

[提示]略解1：设函数y＝x²+(a²－1)x+(a－2)

由图象易知：方程x²+(a²－1)x+a－2＝0的一个根比1大，一个根比1小

1+(a²－1)+a－2＜0 －2＜a＜1．

略解2：设方程的两个根为x₁、x₂，x₁＞1＞x₂

则－2＜a＜1．

[答案](C)．

4．M＝{x｜x＝3 m+5 n，m，n Z}，N＝{x｜x＝2 m+4 n，m、n Z}那么M与N的关系是(　　 )．

(A)M＝N　　 (B)MN　　 (C)MN　　 (D)MN＝

[提示]略解1：集合M中同时含有奇数、偶数；集合N中仅含偶数，

所以(A)(B)一定是错误的，又因为8M，8N

∵　 MN＝

∴　 (D)错误．由排除法得答案为(C)．

略解2：对任意的x₀ N，则必存在着m₀，n₀ Z

若x₀＝2 m₀+4 n₀＝3(－m₀－2 n₀)+5(m₀+2 n₀)

∵　 －m₀－2 n₀ Z，m₀+2 n₀ Z

∴　 x₀ M

∴　 NM．

又　 3M，3N

∴　 NM．

[答案](C)．

3．I为全集，集合A，B满足AB＝I，那么

①_IA_IB＝，②A∩_IB＝_IB，③A∪_IB＝A，④B_IA

四个命题中正确的命题的个数是(　　 )．

(A)1　　 (B)2　　 (C)3　　 (D)4

[提示](1)_IA_IB＝ _I(AB)＝ _I I＝

(2)AB＝IA＝_IBA_IB＝_IB

(3)AB＝I_IB＝AA_IB＝A

(4)AB＝IB＝_IAB_IA

所以(1)，(2)，(3)，(4)都正确．

[答案](D)．

2．已知xR，y R⁺，集合A＝{x²+x+1，－x，－x－1}，

集合B＝{－y，，y+1}，若A＝B，则x²+y² 的值是(　　 )．

(A)5　　 (B)4　　 (C)25　　 (D)10

[提示]－x－1＜－x≤x²+x+1

∵　 y R⁺，

∴　 －y＜－＜y+1．

∵　 A＝B

∴　 　

经检验，x＝1，y＝2满足集合元素的互异性，所以x²+y²＝5．

[答案](A)．

1．若x²－2 x－3＜0则(　　 )．

(A)x＜－1　　　　 (B)x＞3

(C)x＞0　　　　　 (D)x＜8

[提示]x²－2 x－3＜0－1＜x＜3x＜3

本题寻求的是x²－2x－3＜0的必要条件而不是充要条件．

[答案](D)．

12、设A={xy|≤1|}Bm={xy}1y=－(x-m)²+2m}B=uBm，求A∩B的面积。

解：集合A看作是以(0，1)为圆心的1为半径的圆及圆内所有点的集合；

因为对任意的MR，均有－(X－M)2+2M≤2X+1，所以B=Ubm={x，y}|y≤2x+1}如图

∵直线Y=2X+1过(0，1)点，

∴A∩B即为半圆。

∴A∩B的面积为。

点评：本题中集合B可看作是抛物线y=－2x)，沿着直线y=－2x方向平移所扫过的点的集合(因为y=－(X-M)²+2M的所有顶点组成直线y=x2)，所以我们努力寻找抛物线在移动过程中所扫过点的集合。设直线y=2x+b当y=x2有且仅有一个交点，即可求出b=1，所以抛物线y=－x2在平移过程中不会扫过y=2x+1上面的点，得B={Xy}|y≤2X+1}。

11、设M={1，2，3，……，1995}，A是M的子集，且满足条件：当XA时，求A中元素的个数是多少？

解：用N(A)表示集合A中所合元素的个数。

由题意，K与15k(k=9，10，……，133)这两个数中至少有一个不属于A，所以至少有133-9+1=125个数不属于A。

所以，N(A)≤1995-125=1870

另一方面，可取A={1，2，……}U{134，135，……1995}，A满是题意，且此时n(A)=1870

∴N(A)的最大值为1870

点评：由题意构造出数组(9，9×15)；(10，10×15)，……(133，195)是解决问题的关键。