2．　 掌握对数函数的概念，并能求出对数函数的定义域和值域。

第五单元 对数与对数函数

[重点难点]

1．　 理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化；掌握对数的运算性质，能够熟练应用对数运算性质进行计算或证明；了解常用对数和自然对数的概念。

4．已知平面向量＝(7，9)，若向量、满足2+＝，⊥，||＝||，求、的坐标．

[提示]

设＝(x₁，x₂)，＝(y₁，y₂)，由已知，可以得到含有x₁，x₂，y₁，y₂的四个关系式，建立方程组，解之即可．

[答案]

设＝(x₁，x₂)，＝(y₁，y₂)．

由2+＝，得

2(x₁，x₂)+(y₁，y₂)＝(7，9)，

即

由⊥，得x₁y₁+x₂y₂＝0．　　　　 ③

由 ||＝||，得 x₁²+x₂²＝y₁²+y₂²＝0．　 ④

将(1)式化为　 y₁＝7－2 x₁，

(2)式化为　 y₂＝9－2 x₂，

代入③式，得　 x₁(7－2 x₁)+x₂(9－2 x₂)＝0，

即　 2(x₁²+x₂²)＝7 x₁+9 x₂，　 ⑤

代入④式，得　 x₁²+x₂²＝(7－2 x₁) ² +(9－2 x₂) ²，

即　 3(x₁²+x₂²)＝28 x₁+36 x₂－130．　 ⑥

由⑤、⑥，得

解之得，或

分别代入(1)、(2)，得

或

∴　 ＝(，)，＝(－，)．

或　 ＝(1，5)，＝(5，－1)即为所求．

[点评]

本题考查向量的坐标运算，向量垂直的充要条件，两点间距离公式及运算能力．

3．如图，某观测站C在城A的南偏西20°方向上，从城A出发有一条出路，走向是南偏东40°，在C处测得距C处31千米的公路上的B处有一人正沿着公路向城A走去．走20千米后到达D处．测得CD ＝21千米，这时此人距城A多少千米．

[提示]

要求AD的长，在△ACD中，应用正弦定理，只需求∠ACD，而∠CDB是△ACD的一个外角，∠CAD已知，故只需求∠CDB，在△CDB中，已知两边，可利用余弦定理求角．

[答案]

由已知，在△CDB中，CD ＝21，DB ＝20，BC ＝31，据余弦定理，有

cos ∠CDB ＝＝－．

∴　 sin ∠CDB ＝＝．

在△ACD中，∠CAD ＝20°+40°＝60°，

∴　 ∠ACD ＝∠CDB －∠CAD ＝∠CDB －60°．

∴　 sin ∠ACD ＝sin(∠CDB －60°)

＝sin ∠CDB cos 60°－cos ∠CDB sin 60°

＝×－(－)×

＝．

由正弦定理，得

AD ＝· sin ∠ACD ＝15(千米)．

答：此人距A城15千米．

[点评]

本题结合三角函数的知识，主要考查了正弦、余弦定理的应用．解此类应用问题的关键是正确理解题意，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题，再根据正弦、余弦定理予以解决．

4．在□ABCD中，对角线AC ＝，BD ＝，周长为18，求这个平行四边形的面积．

[提示一]

要求得平行四边形的面积，须知两条邻边及它的夹角．由周长为18，知两条邻边的和为9，可据两条已知的对角线，利用余弦定理求得两条邻边及夹角．

[提示二]在△AOB和△BOC中利用余弦定理求解．

[解法一]如图，在□ABCD中，设AB ＝x，则BC ＝9－x，

在△ABC中，据余弦定理，得

AC²＝AB²+BC²－2 AB BC cos ABC．

在△ABD中，据余弦定理，得

BD²＝AB²+AD²－2 AB · AD cos DAB．

由已知　 AC ＝，BD ＝，∠DAB +∠ABC ＝180°，BC ＝AD．

故角　 65＝x ² +(9－x) ² －2 AB BC cos ABC，

17＝x ² +(9－x ²)+2 AB BC cos ABC，

二式相加，得

82＝4 x²－36 x +162

即　 x²－9 x +20＝0

解得　 x ＝4，或x ＝5，

在△ADB中，由余弦定理，得

cos ∠DAB ＝

＝

＝．

∴　 sin ∠DAB ＝．

∴　 sin _□ABCD ＝AB · AD sin DAB

＝4×5×

＝16．

[解法二]在△AOB和△BOC中，由余弦定理，得

AB²＝OA²+OB²－2 OA · OB cos ∠AOB，

BC²＝OC²+OB²－2 OC · OB cos ∠BOC，

可设　 AB ＝x，则BC ＝9－x，

而OA ＝OC ＝AC，OB ＝BD，∠AOB +∠BOC ＝180°，

代入后化简，可求得

x ＝4或x ＝5．

在△ADB中，由余弦定理，得

cos ∠DAB ＝

＝

＝．

∴　 sin ∠DAB ＝．

∴　 sin _□ABCD ＝AB · AD sin DAB

＝4×5×

＝16．

[点评]本题考查余弦定理的灵活运用．

3．一只船按照北偏西30°方向，以36海里/小时的速度航行，一灯塔M在船北偏东15°，经40分钟后，灯塔在船北偏东45°．求船与灯塔原来的距离．

[提示]

先画船航行的示意图，将题目的已知条件分别与三角形内的边、角对应起来，从而确定三角形内的边角关系，运用正弦定理或余弦定理解决．

[答案]

如图，设船原来的位置为A，40分钟后的位置为B，则AB ＝36×＝24(海里)．

在△ABM中，∠BAM ＝30°+15°＝45°．

∠ABM ＝180°－(45°+30°)＝105°，

∴　 ∠AMB ＝180°－(∠ABM +∠BAM)＝30°．

由正弦定理，得

AM ＝· sin ∠ABM

＝· sin 105°

＝12(+)(海里)．

答：船与灯塔原来的距离为12(+)海里．

[点评]

本题考查解斜三角形的应用问题．关键是画出示意图(这里必须弄清方位角的概念)，建立数学模型，将实际问题转化为解斜三角形的问题．

2．如图，已知＝＝，＝，且||＝||．

(1)用，表示，，；

(2)求·．

[提示]

由＝，可判定四边形ABCD为平行四边形，于是利用平行四边形的性质．可求，，．又＝+．＝－，＝利用数量积的运算性质及已知条件||＝||．可求·．

[答案]

(1)∵　 ＝，

∴　 四边形ABCD为平行四边形．

∴　 ＝＝．

∴　 ＝+＝+，＝－＝－，

而　 ＝，＝－，

∴　 ＝+，＝－．

(2)∵　 ＝+，＝－，

∴　 ·＝(+)(－)

＝²－²

＝||²－||²

＝0．

[点评]

本题考查平面向量的加减法，基本定理、数量积及运算律．解题时注意结合平面图形的几何特征，寻求向量之间的联系．由题目的条件及结论可知，四边形ABCD为菱形．

1．设平面三点A(1，0)，B(0，1)，C(2，5)．

(1)试求向量2+的模；

(2)试求向量与的夹角；

(3)试求与垂直的单位向量的坐标．

[提示]

、的坐标为终点坐标与始点坐标的差，求出、的坐标后，可得2+的坐标，(1)可解，对于(2)，可先求、的值，代入 cos q ＝，即可；对于(3)，设所求向量的坐标为(x，y)，根据题意，可得关于x、y的二元方程组，解出x，y．

[答案]

(1)∵　 ＝(0－1，1－0)＝(－1，1)，

＝(2－1，5－0)＝(1，5)．

∴　 2+＝2(－1，1)+(1，5)＝(－1，7)．

∴　 |2+|＝＝．

(2)∵　 ||＝＝．

||＝＝，

·＝(－1)×1+1×5＝4．

∴　 cos q ＝＝＝．

(3)设所求向量为＝(x，y)，则

x²+y²＝1．　 ①

又　 ＝(2－0，5－1)＝(2，4)，由⊥，得

2 x +4 y ＝0．　 ②

由①、②，得或

∴　 (，－)或(－，)即为所求．

[点评]

本题考查向量的模，向量的坐标运算、向量的数量积，向量垂直的充要条件以及运算能力．

5．在△ABC中，已知a ＝2，b ＝2，c ＝+．则这个三角形的最小角的度数是___________．

[提示]

先由已知条件判断△ABC三条边中的最短的边，它所对的角便是该三角形的最小角．由于c ＞b ＞a，则a对的角A为最小．利用余弦定理，得

cos A ＝

＝

＝，

∴　 A ＝30°．

[答案]30°．

[点评]本题主要考查应用余弦定理解决三角形的有关问题．

4．将点A(2，4)按向量＝(－5，－2)平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．

[提示]由已知，x ＝2，y ＝4，h ＝－5，k ＝－2，代入平移公式，得x′＝－3，y′＝2．

[答案](－3，2)．

[点评]本题考查点的平移公式．主要应分清平移前后点的坐标．