(四)、提高练习：

★[题1]、已知函数f (x)=2x-1,，求f[g(x)]和g[f(x)]之值。

★[题2]、书本：P25：6题。

★[题3]、已知函数f(x+1)=x²-3x+2，求f(x)之表达式

★[题4]、已知函数f(+4)=x+8+2，求f(x²)之表达式(学习高手P44)

★思考题：[题5]、二次函数¦(x)=ax²+bx (a,b为常数且a≠0)满足¦(-x+5)=¦(x-3)且方程¦(x)=x有等根；①求¦(x)的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦(x)定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由

解、①¦(x)=-x²+x　 ②由于¦(x)的值域是¦(x)≤,则3n≤,即n≤,所以有¦(m)=3m且¦(n)=3n　　

∴存在实数m=-4,n=0使¦(x)定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]

　 (Ⅲ)、课堂回顾与小结：

1、注意函数的表示和定义域问题。

2．已知函数，分别由下表给出

	1	2	3
	1	3	1

	1	2	3
	3	2	1

则

则的值

为　　 　　　　　　　　　　　　　　 ；满足的的值是　　　　　　　　　　　　　 2．

3．设函数，则　　　　 ．

4、已知a,b为常数，若则　 　2 .

5．函数, 则(　 B　 )

　　　　　　　　　　　 A．2　　　 　　　 B．－2 　　　　　 C．　　　 　 D．

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讲义五：　　 函数及其表示(2) 　　　　

撰稿： 方锦昌　 电子邮箱 fangjingchang2007@　　 手机号码 13975987411

(Ⅰ)、基本概念及知识体系：

　函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。

[★例题1]设¦(x+1)的定义域为[-2,3)则¦(+2)的定义域为___({x|x≤或x>}

[★例题2]、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。

★●练习题:

1、下面可能表示函数的图象的是(　　 )

★1、(07广东)客车从甲地以60km/h的速度匀速行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度匀速行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发.经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间关系的图象中，正确的是(　　 )

　　　 　　　　　　　　　　　　　A.　　 　　　B.　　　　　　 C.　　　　　 D.　　　　　　　 B.

(Ⅱ)、典例剖析与课堂讲授过程：

●例题1：(2000年全国高考题)某种蔬菜基地种植西红柿,由历年市场行情得知,从2月1日起的300天内，西红柿市场售价p与上市时间t的关系图是一条折线(如图(1))，种植成本Q与上市时间t的关系是一条抛物线(如图(2))①、写出西红柿的市场售价与时间的函数解析式p=f(t).

②、写出西红柿的种植成本与时间的函数解析式Q=g(t).

③、认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

p　　　　　　　　　　　　　　　 Q

300　　　　　　　　　　　　　　 300

　　　　　　　　　　　　　　　 250

200　　　　　　　　　　　　　　 200

　　　　　　　　　　　　　　　 150

100　　　　　　　　　　　　　　 100

　　　　　　　　　　　　　　　　 50

　O　　 100　 200　 300　 t　　　　　 O　 50　 100 150　 200 250 300　 t

　　　　 (图1)　　　　　　　　　　　　　 (图2)

●解:(1)f(t)=

(2)g(t)=.

(3)纯收益h(t)=f(t)-g(t)

=

当t=50时，h(t)的最大值为100，即从2月1日开始的第50天西红柿的纯收益最大．

★[题2]如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：　　

●[题3]、有一种密英文的明文(真实文)按字母分解,其中英文的a,b,c,…,z的26个字母(不分大小写),依次对应1,2,3,…,26这26个自然数,见如下表格:

给出如下一个的变换公式:

　 x′=　 (x∈N,1≤x≤26,x不能被2整除)

　+13(x∈N,1≤x≤26,x能被2整除)　 将明文转换成密文,如8→+13=17,即h变成q；5→=3，即e变成c。①按上述规定，将明文good译成的密文是什么？②按上述规定，若将某明文译成的密文是shxc，那么原来的明文是什么？

●解：①g→7→=4→d;o→15→=8→h;d→o;则明文good的密文为dhho

②逆变换公式为x=　 2x′-1 (x′∈N,　 1≤x′≤13)

　　　　　　　　　 2x′-26 (x′∈N,14≤x′≤26),则有s→19→2×19-26=12→l;h→8→2×8-1=15→o,x→24→2×24-26=22→v;c→3→2×3-1=5→e;故密文shxc的明文为love.

　四、今日作业：

★1、．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量(kg)

与其运费(元)由如图的一次函数图像确定，那

么乘客免费可携带行李的最大重量为 ______　

_____19 kg _.

★2．某校校长暑假将带领该校市级“三好生”去北京旅游。甲旅行社说：“如果校长买全票一张，则其余学生可享受半价优待。”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票价的6折(即按全票价的60%收费)优惠。”若全票价为240元.；(I)设学生数为x，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为，分别计算两家旅行社的收费(建立表达式)；(II)当学生数是多少时，两家旅行社的收费一样；(III)就学生数x讨论哪家旅行社更优惠.

　 ★解：(I)=120x+240,　 =240·60%(x+1)=144x+144.

(II)根据题意，得120x+240=144x+144,　 解得　 x=4.

答：当学生人数为4人时，两家旅行社的收费一样多.

(III)当>，120x+240>144x+144，　 解得　 x<4;

当<, 120x+240<144x+144,　　 解得　 x>4.

答：当学生人数少于4人时,乙旅行社更优惠；当学生人数多于4人时，甲旅行社更优惠.

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讲义六：　　 函数的值域和映射概念 　　　　

撰稿： 方锦昌　 电子邮箱 fangjingchang2007@　　 手机号码 13975987411

(Ⅰ)、基本概念及知识体系：

　函数的概念、函数的定义域、值域，注意充分利用函数的图象，培养基本的数形结合的思想方法。

[★例题1]

■①、设¦(x+1)的定义域为[-2,3)则¦(+2)的定义域为___({x|x≤或x>}

■②、求下列函数的定义域(用区间表示)

　 f(x)=；　 f(x)=；　 f(x)=－

(Ⅱ)、教学：函数值域的求法：

1、常见函数的值域：①、一次函数y= kx+b (k≠0)的值域：　　　 ②、二次函数y= ax²+bx+c (a≠0)的值域：　　　　　　　 ③、反比例函数y= (k≠0)的值域：

　●例2：求值域(用区间表示)：y＝x－2x+4；f(x)＝；y＝；f(x)＝ ；

▲★：小结求值域的方法： 观察法、配方法、拆分法、基本函数法

(Ⅲ)、巩固练习：

▲1、求下列函数的值域：

　①、y= 4-：配方及图象法：　　 ②、y=+x的值域 (换元法答案：y≤1);　　 ③、y= 　 分离常数法：　　　　 ④、y= 判别式法或均值不等式法：

●2.求函数y＝－x+4x－1 ，x∈[-1,3) 在值域。

　 解、(数形结合法)：画出二次函数图像 → 找出区间 → 观察值域(注意描成阴影部分)

◆3.已知函数f(x)的定义域是[0,1]，则函数f(x+a)的定义域是　　　 。

＃●4.课堂作业：书P24：　 1、2、3题。

(Ⅳ)、综合提高部分：

[★例题1]设函数¦(x)=x²-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为g(t),写出g(t)的表达式。

解:注意利用图形去处理问题,培养一种数形结合的思想方法.

[★题2] 设函数¦(x)表示-2x+2与-2x² +4x+2中的最小值,则¦(x)的最大值为( B )　　　

　A　 1　　 B　 2　　 C　 3　　　 D 0

(Ⅴ)、典例剖析与课堂讲授：

●★[例题3]、二次函数¦(x)=ax²+bx(a,b为常数且a≠0)满足¦(-x+5)=¦(x-3)且方程¦(x)=x有等根；①求¦(x)的解析式；②是否存在实数m、n(m <n)使¦(x)定义域为[m，n]，值域为[3m，3n]，若存在，求出m、n之值，若不存在，说明理由

▲解、①¦(x)= -x²+x　 ②由于¦(x)的值域是¦(x)≤,则3n≤,即n≤,所以有¦(m)=3m且¦(n)=3n　　 ∴存在实数m=-4,n=0使¦(x)定义域为[-4，0]，值域为[-12，0]

●注意：若函数满足有：¦(a+x)=¦(b-x)则此函数必有对称轴：x=

(Ⅵ). 教学映射概念：

① 先看几个例子，两个集合A、B的元素之间的一些对应关系，并用图示意

, ，对应法则：开平方；

，，对应法则：平方；

, , 对应法则：求正弦；

② 定义映射：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射(mapping)．记作“”

　 关键: A中任意，B中唯一；对应法则f.

口诀：看原象，要求每元必有象，且象唯一。对应方式：一对一；多对一；不允许一对多！

2.教学例题：

① 出示书本例题7： 探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？

A={P | P是数轴上的点}，B=R；　　 A={三角形}，B={圆}；

A={ P | P是平面直角体系中的点}， ；　 A={高一某班学生}，B= ？

③ 练习：判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则；

，对应法则；

　　 ，，；

设；

，

(三)、今日作业：

●1、设f(x)＝，则f[f()]＝(　 B　 )

(A) 　　　(B)　　　 (C)－　　 (D)

解：f[f()]=f[|-1|-2]=f[-]=,选(B)

(二)、函数的定义域的常见求法：

★[例题1]、书本P17例题1、例题2

★[例题2]、如果函数¦(x)满足：对任意的实数m、n都有¦(m)+ ¦(n)= ¦(m+n)且¦(1003)=2，则¦(1)+ ¦(3)+ ¦(5)+…+¦(2005)=____(2006)

★[例题3]、(06·重庆·T₂₁·12分)已知定义域为R的函数f(x)满足¦(f(x)-x²+x)=f(x)-x²+x.

(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)；(Ⅱ)设有且仅有一个实数x₀,使得f(x_0­)= x_0,求函数f(x)的解析表达式.

▲解：(Ⅰ)因为对任意x∈R，有f(f(x)- x² + x)=f(x)- x² +x，所以f(f(2)- 2²+2)=f(2)- 2²+2.

又由f(2)=3，得f(3-2²+2)-3-2²+2，即f(1)=1.；若f(0)=a，则f(a-0²+0)=a-0²+0，即f(a)=a.

(Ⅱ)因为对任意xεR，有f(f(x))- x² +x)=f(x)- x² +x.；又因为有且只有一个实数x₀,使得f(x₀)- x_0.

所以对任意x∈R，有f(x)- x² +x= x_0.；在上式中令x= x₀,有f(x₀)-x + x₀₌ x_0,

又因为f(x₀)- x₀，所以x_0- x=0，故x₀₌0或x₀=1.；若x₀=0，则f(x)- x² +x=0，即f(x)= x² –x.

但方程x² –x=x有两上不同实根，与题设条件矛质，故x₂≠0.

若x₂=1,则有f(x)- x² +x=1，即f(x)= x² –x+1.易验证该函数满足题设条件.

综上，所求函数为f(x)= x² –x+1(xR).

▲★课堂练习：

●练习题：书本P19题1、2、3；书本P24：习题1、2、3、4、5

●思考题：已知函数¦(x)对一切实数x、y均有¦(x+y)-¦(y)=(x+2y+1)·x成立，且¦(1)=0

①求¦(0)之值;②当¦(x)+3<2x+a　 且0<x< 恒成立时，求a的取值范围

解、①¦(0)=-2； ②化为a>(x-)²+从而有{a| a≥1}为所求(函数的恒成立问题--函数思想去处理！)

(一)、函数的概念：

(四)、提高练习：

●★[题1]、设全集U=R，A={x| <0},B={x|x<-1},则图中阴影部分所表示的集合是( C　 )

　 A {x|x>0}　 B　 {x|-3<x<0}　 C　 {x|-3<x<-1}　 D　 {x|x<-1}

●★[题2]、集合A={(x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N},则A的非空真子集的个数为(C　)　

　　A　4　　 B　5　　　 C　6　　　　　　 D　7

★[题3]、集合M={x||x-3|≤4},N={y|y=　+},则M∩N=____{0}

★[题4]、(2004年·上海·T₃·4分)设集合A={5，log2(a+3)}，集合B={a,b}若满足A∩B={2}，则A∪B=____{1，2，5}

★　　 [题5]、①已知集合A={y|y=},B={y|y=x²-2x-3,x∈R},则A∩B=____{y|y≥0}

　　　　 ②已知集合A={x|y=},B={y|y=x²-2x-3,x∈R},则A∩B=____{x|x≥1或≤x≤}

★[题6]、已知集合P={x|x²-5x+4≤0},Q={x|x²-(b+2)x+2b≤0}且有PÊQ，求实数b的取值范围。

解：(答案：{b|1≤b≤4})

★[题7]、若全集I=R，¦(x),g(x)均为x的二次函数，且P={x|¦(x)<0},Q={x| g(x)≥0,}则不等式组的解集可用P、Q表示为___( P∩C_RQ)

★[题8]、．如右图所示，I为全集，M、P、S为I的子集，则阴影部分所表示的集合为( C　 )

　　 A．(M∩P)∪S　　　　　　 B．(M∩P)∩S　　

　　 C．(M∩P)∩(C_I S)　　　 D．(M∩P)∪(C_I S)

●题9、(2007年江苏第2题)．已知全集，，，则A∩(C_RB)为(　A　)

A．　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　 D．

★题10、(07北京)已知集合，，若，则实数的取值范围是　　　　 .

　 (Ⅲ)、课堂回顾与小结：

5、　 注意集合之间的运算：交、并、补；

6、　 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义四：　　 函数及其表示(1) 　　　　

撰稿： 方锦昌　 电子邮箱 fangjingchang2 007@　　 手机号码 13975987411

(Ⅰ)、基本概念及知识体系：

1、　 函数概念：书本：P15实例1、炮弹的发射--解析法；实例2、臭氧问题--图象法；实例3、恩格尔系数--列表法；

2、　 函数的定义：P16定义：设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么称为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作：. 其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域(domain)，与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合叫值域(range)；注意记为y=f(x),x∈A；

3、　 构成函数的三要素是：定义域、值域、对应法则。

4、函数y=f(x)的定义域和值域：已学的一次函数、二次函数的定义域与值域？

●练习：题1、，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。

→　 题2、求值域.

5、　 区间的概念：

●练习：1、用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x<b}

2、　 用区间表示：函数y＝的定义域　　　 　，值域是　　　 。

●作业： 已知函数f(x)=3x+5x－2,求f(3)、f(-)、f(a)、f(a+1)

(Ⅱ)、典例剖析与课堂讲授过程：

(三)、今日作业：

●1、已知集合A={x|x+2>0},B={x|ax-3<0}且有A∪B=A，求a 的取值范围。 (解：{a|a≤-3/2})

●2、书本P12：10题、B组4题。

(二)、A∪B=A ⇔BÍA，要特别注意B是否为Æ的情况的讨论。

★[例题1]、已知集合A={x|x²-2x-8=0},B={x|x²+ax+a²-12=0}且有A∪B=A ，求实数a的取值集合。

●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意Æ，注意分类讨论。

★[例题2]、已知全集U={x|x≤4},集合A={x|-2<x<3}, 集合B={x|-3<x≤3},求①、C_UA，②、A∩B，③、C_U(A∩B)，④、(C_UA)∩B，⑤、C_U(A∪B)

●解：{a|a<-4,或a=-2,或a≥4}；注意Æ，注意分类讨论。

★[例题3]、已知集合A={x|x²-4mx+2m+6=0},B={x|x<0},且有A∩B≠Æ，求实数m的取值范围。

●解：(正难则反，补集的思想){m|m≤-1}

▲★课堂练习：

◆1、书本P11：练习题1、2、3、4；P12： 6、7、8、9；B组第3、题。

◆2、、(2006年·辽宁·T₁·5分)设集合A={1，2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数为( C　 )

　A　 1　　　 B 3　　　　 C　 4　　　　　　 D　 8

◆3、(2005年·全国Ⅰ·T₂·5分)设I为全集，S₁、S₂、S₃是I 上的三个非空子集，且S₁∪S₂∪S₃=I，则下列论断正确的是( C　 )

A C_IS₁∩(S₂∪S₃)=Æ　　 B　 S₁Í(C_IS₂∩C_IS₃)　 C C_IS₁∩C_IS₂∩C_IS₃=Æ　 D　 S₁Í(C_IS₂∪C_IS₃)

◆　　 4、已知集合A={x|-3≤x≤4}B={x|2m-1≤x≤m+1},当A∪B=A时，求出m之取值范围。

(解：m≥-1)

特别注意：当BÍA时，B一定包括有两种情形：B=Æ或B≠Æ，解题时极易漏掉B=Æ这一情况从而出错！

(一)、集合之间的基本运算：

A∩B={x|x∈A且x∈B}; A∪B={x|x∈A或x∈B}；C_UA={x|x∈U且xÏA}

(四)、提高练习：

★[题1]、设集合S={a,b,c,d,e},则包含{a,b}的S的子集共有(D　 )个

A　 2　　　 B　 3　　　　　 C　 5　　　　　　 D　 8

★[题2]、集合A={(x,y)|2x+y=5,x∈N,y∈N},则A的非空真子集的个数为(C　)　

　　A　4　　 B　5　　　 C　6　　　　　　 D　7

★[题3]、对于两个非空数集A、B，定义点集如下：A×B={(x,y)|x∈A,　 y∈B},若A={1，3}，B={2，4}，则点集A×B的非空真子集的个数是___14_个

★[题4]、集合的真子集个数是　　 (　 A　 )

(A)16　　　　　　 (B)8　　　　　 (C)7　　 　　　　(D)4

●解答、，A的真子集有：，共7个，选C

★[题5]、(2004湖北)已知集合P={m|-1<m<0},Q={m∈R|mx²+4mx-4<0对任意的x∈R恒成立}，则有(　 B )

A　 P=Q　　　　 B PÜQ　　　　　 C　 PÝQ　　　　　　 D　 P∩Q=Q

★[题6]、设集合M={x|x= +,k∈Z},N={x|x= +,k∈Z},则( B)

　　　　 A　 M=N　　　　 B MÜN　　　　　 C　 MÝN　　　　　　 D　 M∩N=Æ

　 (Ⅲ)、课堂回顾与小结：

3、　 分清子集Í、真子集Ü、空集Æ；注意Æ的特殊性。

4、　 利用韦恩图，利用数轴，注意分类讨论思想的培养与应用。

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义三：　　 集合之间的基本运算(2课时)　　　 　

撰稿： 方锦昌　 电子邮箱 fangjingchang2 007@　　 手机号码 13975987411

(Ⅰ)、基本概念及知识体系：

1、集合之间的基本运算：①、交集A∩B={x|x∈A且x∈B};

　②、并集A∪B={x|x∈A或x∈B}；

③、全集和补集：C_UA={x|x∈U且xÏA}

2、注意韦恩图、利用数轴的数形结合思想以及分类讨论的数学思想的培养与应用。

(Ⅱ)、典例剖析与课堂讲授过程：

(三)、今日作业：

●1、判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系：

①、已知集合A={x|x=2k-1,k∈Z}B={x|x=2m+1,m∈Z}(解：A=B)

②、已知集合A={x|x=2k,k∈Z}B={x|x=4m,m∈Z}(解：B Í A)

●2、已知集合M={x|-2≤x≤5},N={x|m+1≤x≤2m-1}

　①、若NÍM，求实数m的取值范围；(解：m≤3，注意N为Æ的情况！)

　②、若x∈Z，则M的非空真子集的个数是多少个？(解：2⁸-2=254个)

　③、(选做)当x∈R 时，没有元素使得x∈M与x∈N同时成立，求实数m的取值范围(解：m<2或m>4)