1.指出函数f(x)＝ax+bx+c (a>0)的单调区间及单调性，并进行证明。

(一)、基本概念及知识体系：

　教学要求：更进一步理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大(小)值及其几何意义.

教学重点：熟练求函数的最大(小)值。

教学难点：理解函数的最大(小)值，能利用单调性求函数的最大(小)值。

教学过程：

★题1、已知函数f(x)= (x∈[2,+∞),证明该函数为↗，并求出其最小值。

解：(见教案P45面题2)；(为)

★题2、已知函数f(x)=ax²-2ax+2+b(a≠0)在[2，3]上的最大值为5和最小值为2，求出a和b 之值。

●解：a=-1,b=3或a=1,b=0见教案P45面题1。

★题3、已知函数f(x)= x²+bx+c,对任意的实数t,都有f(2=t)=f(2-t),试比较f(1)、f(2)、f(4)之大小。

●解：见教材全解P108例题4；注意函数满足f(a+x)=f(b-x)时，其对称轴为x=a+b/2；同时要注意利用对称性，将所比较的数值对应的自娈量转化到同一个单调区间之上，才能利用函数的单调性得出相应结果。

★题4、已知函数f(x)= x²-2(1-a)x+2,在(-∞，4)上是减函数，求出实数a之取值范围。

　 解；见教材全解P109例题5；a≤-3;二次函数的问题要特别注意三点：开口方向，对称轴，顶点坐标。

★题4、图中的图象所表示的函数的解析式为(　B　)

A．　　　　　

B　　　　　　

C．　　　

D．　　　　

★题6．设函数则关于x的方程

解的个数为　 (　 C )A．1　　　　 B．2　　　　　　　　　　　　 C．3　　　　　　　　 D．4

★题7．若不等式x²+ax+1³0对于一切xÎ(0，)成立，则a的取值范围是( C　 )

A．0　　 B. –2　　　 C.-　　　 　　　　D.-3

●解：设f(x)＝x²+ax+1，则对称轴为x＝；若³，即a£－1时，则f(x)在(0，)上是减函数，应有f()³0Þ－£x£－1若£0，即a³0时，则f(x)在(0，)上是增函数，应有f(0)＝1>0恒成立，故a³0若0££，即－1£a£0，则应有f()＝恒成立，故－1£a£0，综上，有－£a故选C

★例题1、设函数f(x)=　-ax,其中a≥1,证明：函数f(x)为区间[0,+∞)的↘

●解：注意分子有理化。

★　　 例题2、定义于R上的函数y=f(x)，有f(0)≠0，，当x>0时f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)·f(b)；(1)、证明：f(0)=1；(2)、对任意的x∈R,恒有f(x)>0；(3)、证明：f(x)是R上的增函数；(4)若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范围。

●解：①、抽象函数的单调性的证明，注意利用f(x₂)=f(x₂-x₁+x₁)或令f(x₂)=f(x₁+t)(其中t>0)去灵活变形。　 ②、注意转化为函数的单调性去处理不等式：x∈(0,3)

●今日作业：

[★题1]已知函数：①、y=x²+2x+5;　　　 ②y=-x²-4x+3

(1)、分别写出它们的单调区间；(2)分别求出它们在[0，5)上的值域；

[★题2]设¦(x+1)的定义域为[-2,3)则¦(+2)的定义域为___({x|x≤或x>}

[★例题3]、将进货单价为80元的商品400个，按90元一个售出时全部卖出，已知这种商品每个涨价1元，其销售个数就减少20个，为了获得最大利润，售价应定为每个多少元。

★[题4]如右图,已知底角45º为的等腰梯形ABCD,底边BC长为7,腰长为,当一条垂直于底边BC(垂足为E)的直线从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线把梯形分成两部分,令BE=x,试写出图中阴影部分的面积y与x的函数关系式.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：　　

湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义

讲义九：　　 函数的基本性质----单调性和最值(2) 　　　　

撰稿： 方锦昌　 电子邮箱 fangjingchang2 007@　　 手机号码 13975987411

★例题1、证明函数y=x³-b(b为常数)是R上的增函数。(见教案P40面题1)

★例题2、定义(-1，1)上的函数f(x)是↘，且满足f(1-a)<f(a)，求实数a的取值范围。

　● 解：0<a<1/2. (见教案P40面题2)

★例题3、求函数y= (当-2≤x≤1时)，求出其最大值和最小值

●解：最大值为，最小值为0。见教案P44面题补充练习题)

●★例题4、已知则不等式≤5的解集是　　　　 .x≤3/2

4.课堂作业：书P43　 1、2、3题。

3.讨论f(x)=x－2x的单调性。　 推广：二次函数的单调性

2.判断f(x)=|x|、y=x的单调性并证明。

1.求证f(x)＝x+的(0,1]上是减函数，在[1,+∞)上是增函数。

2.教学增函数、减函数的证明：

①出示

★例1：指出函数f(x)＝－3x+2、g(x)＝的单调区间及单调性，并给出证明。

(由图像指出单调性→示例f(x)＝－3x+2的证明格式→练习完成。)

②出示例2：物理学中的玻意耳定律(k为正常数)，告诉我们对于一定量的气体，当其体积V增大时，压强p如何变化？试用单调性定义证明.

　　 (学生口答→ 演练证明)

③小结：比较函数值的大小问题，运用比较法而变成判别代数式的符号。

　 判断单调性的步骤：设x、x∈给定区间，且x<x； →计算f(x)－f(x)至最简→判断差的符号→下结论。

1.教学增函数、减函数、单调性、单调区间等概念：

①根据f(x)＝3x+2、 f(x)＝x　 (x>0)的图象进行讨论：

随x的增大，函数值怎样变化？　 当x>x时，f(x)与f(x)的大小关系怎样？

②.一次函数、二次函数和反比例函数，在什么区间函数有怎样的增大或减小的性质？

③定义增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x₁，x₂，当x₁<x₂时，都有f(x₁)<f(x₂)，那么就说f(x)在区间D上是增函数(increasing function)

④探讨：仿照增函数的定义说出减函数的定义；→ 区间局部性、取值任意性

⑤定义：如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫f(x)的单调区间。

⑥讨论：图像如何表示单调增、单调减？所有函数是不是都具有单调性？单调性与单调区间有什么关系？y＝x的单调区间怎样？

③练习(口答)：如图，定义在[-4,4]上的f(x)，根据图像说出单调区间及单调性。