1、条件甲：α=ß，条件乙：sinα=sinß,那么条件甲是条件乙　　　　　　　　　　 ( 　　)

　A、充分不必要条件　　 B、必要不充分条件　　 C、充要条件　　 D、既不充分也不必要条件

　★例1、平面内有两点A(1，cosx),B(cosx,1),其中x∈[-,],①求向量OA与OB的夹角q的余弦值；②记¦(x)=cosq，求¦(x)的最小值。

解：① cosq = ；② ¦(x) = ，而2≤cosx+≤，则¦(x)的最小值为，(注意：最大值才是1)

★　　 例2、 如图，点P是△ABC内一点，且=+，则△ABP的面积与△ABC的面积之比是_____

解：由向量的平行四边形法则，则=，从而所求之比为

★　　 3、函数¦(x)=cos(π-x)·lg|x|在区间[，]内的图象是

★4、将函数y=sinωx(ω>0)的图象按向量=(,0)平移，平移后　　 的图象如图所示，则该图象所对应的函数的解析式是(　 )

A　 y=sin(x+)　　　　 B　　 y=sin(x-)

C　 y=sin(2x+)　　　　 D　 y=sin(2x-)

★5、在直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数y=¦(x)的图象恰好经过k个格点，则称函数y=¦(x)为k阶格点函数 。给出下列四个函数:① y=sinx;② y=log₂x;③ y=e^x-1;④ y=x²;其中为一阶格点函数的函数个数共有(　 )个　　

　A　 1　　　 B 2　　　 C 3　　　　　 D　 4

★　　 6、已知数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列，将数列{a_n}中的各项排成如图所示的一个三角形数表，记A(i,j)表示第i行从左至右的第j个数，例如A(4，3)=a₉,则A(10，2)=(　 )

A 91　　　　 B　 93　 　　　C　 95 　　　D　 97

★7、定义运算a◆b为： a◆b=　 a (a≤b)

　　　　　　　　　　　　　　　 　b (a>b)　 则1◆2^x的取值范围是______

★8、如果对某对象连续施加两次相同的变换，其结果还是变换前的对象，则称这种变换叫做“回归变换”，例如，对于一个实数a,其相反数的相反数仍是a，所以“取实数的相反数”是一种回归变换。那么，对于任意的实数x,线性变换y=kx+b(k、b∈R，b≠0)是回归变换的充要条件是_____

★9、某公司拟投资13亿元进行项目开发，现有6个项目可供选择，其投资额和利润如下表所示：

设计一个投资方案,使投资13亿元所获得的利润最大,则应选的项目是______(只需写出投资方案中的项目的代号)

★10、设a为实常数，函数¦(x)= +sinx,若存在x₀∈(,π)，使得a¦(x₀)=1+a成立，求出a的取值范围。

★11、某工厂有容量为300吨的水塔一个，每天从早上6点起到晚上10点止供应该厂生活和生产用水，已知该厂生活用水是10吨/小时，工业用水W吨与时间t (单位：小时，且定义早上6点时t=0) 的函数关系式为W=100，水塔进水量有10级，第一级每小时进水10吨，以后每提高一级，每小时进水就增加10吨，若某天水塔原有水量是100吨，且在供水的同时又打开进水管，请你设计进水量的级数，使得水塔既能保证该厂用水 (水塔中的水不空)，又不会使水溢出。

3、　 巩固练习：①如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=-对称，则a=( D　 )

A 　　　B -　　 C 1　　 D　 -1

②求下列函数的周期：➊y=sinx+cosx;　 ➋y=sin(2x+)cos2x;　 ➌y=cos²4x; ➍y=tanx-cotx;

③求函数y=cos²x-3cosx+2的最小值(答案为0)

★例1已知函数y=2sin(ωx+j)(|j|<)的图象，①求出ω、j的值；

②求出函数图象的对称轴方程，对称中心的坐标，最小正周期。

　 解：①ω=2，j=；②对称轴方程为：x= +;对称中心的坐标为( - ,0)，最小正周期为π；★例2、函数y=3sin(2x+)的图象可以看成是把函数y=3sin2x的图象经过怎样的平移变化而得到的？

★例2、设函数y=sin²x+sinxcosx+a，①求¦(x)的递增区间； ②当x∈[0,]时，¦(x)的最小值为2，求出a的值，并说明此时经过怎样的变换，¦(x)的图象可变为y=sinx的图象。(答案：a=2)

★例3、求函数¦(x)=的最小正周期、最大值、单调递增区间

★例4、已知在△ABC中，sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小。

解、A=， B =，C=

★例5、(2006年福建·17题·12分)已知函数¦(x)= sin²x+sinxcosx+2cos²x,x∈R，① 求函数¦(x)的最小正周期和单调增区间；②函数¦(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换而得到？

★例6、(2006年山东·17题·12分)已知函数¦(x)==Asin²(ωx+j)(A>0，ω>0，0<j<)，且y=¦(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1，2)；①求j；②计算¦(1)+¦(2)+…+¦(2008)

解、j=，¦(1)+¦(2)+…+¦(2008)=4×502=2008

★例7、已知A，B，C是△ABC的在个内角，向量=(-1,),=(cosA,sinA),且·=1;①求角A；②若,求tanC

解、A=，tanC= (注意：当tanB=-1时，cos²B-sin²B=2)

2、　 y=Asin(ωx+j),y=Acos(ωx+j)的周期、奇偶性、对称轴、单调性、最值。

1、y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象和性质； 以及五点做图法的应用。

★[※题1]已知A(3,0),B(0,3),C(cosa,sina), ①若· =-1,求sin2a之值　

　②若|+|=,且a∈(0,π),求与的夹角

解、sin2a=-5/9　 与的夹角为30°

★[※题2]已知¦(x)=asin(πx+a)+bsin(πx-b),其中a、b、a、b均为非零实数，若¦(2005)= -1，则¦(2006)之值为( B　 )：A 0　 B　 1　 C -1　 D　 2003

　★[※题3]已知向量=(4cosB,cos2B-2cosB),=(sin²(+),1),且¦(B)=·

　①若¦(B)=2,且0<B<π,求角B; ②若对任意的角B∈(0,), ¦(B)-m>2恒成立,求实数m的取值范围.(解、①¦(B)= ·=2sin(2B+),B=;②m<2sin(2B+)-2恒成立,则m∈(-∞，--2]

★[※题4]已知¦(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(a∈R,a为常数,x∈R);　

①求函数¦(x)的最小正周期;　　 ②若函数¦(x)的最大值为3,求实数a之值;

③求函数¦(x)的递减区间.

解、①¦(x)=2sin(x+)+a，则最小正周期T=2π；　 ② a=1;　 ③函数¦(x)的递减区间为[2kπ+,2kπ+] (k∈z)

★[※题5]已知函数¦(x)= ,①若函数¦(x)的定义域为(0，)，求函数¦(x)的单调递减区间；②若¦(x)=-2，求x之值。

解、①¦(x)=2sin(x+)，¦(x)的单调递减区间为[，)；②x=kπ-,(注意：x=kπ-时，cos2x=0,应舍去)

(三)巩固练习(3)：

★[※题1]函数¦(x)=tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所

得的线段长为,则¦()之值是( A )　 A 0　　 B 1　　　 C -1　　 D　

★[※题2]已知=(cosa,sina),=(cosb,sinb),且与之间满足关系:|k+|=|-k|,其中k>0,则·的最小值是___,此时与的夹角大小为_______

解、平方得·=≥则最小值为,此时与的夹角大小为60°

★[※题3]函数¦₁(x)=Asin(ωx+j)(A>0,ω>0,|j|<)的一段图象过点(0,1),如图所示,①求函数¦₁(x)的解析式；②将函数y=¦₁(x)的图象按向量=(,0)平移,得到函数y=¦₂(x)的图象,求函数y=¦₁(x)+ ¦₂(x)的最大值,及此时自变量x的取值集合.　　　 解、①¦₁(x)=2sin(2x+)；　 ②y=¦₂(x)= -2cos(2x+)　 y=¦₁(x)+ ¦₂(x)= 2sin(2x-) 当x=kπ+π(k∈Z)时,y_max=2

★[※题4]◆①若函数¦(x)=sin3x-cos3x在区间M上的最大值与最小值的差等于4，则区间M 一定不可能是( C　 )

A [-，]　　 B [-π，-]　　 C [，]　　 D [，π]

◆②设函数¦(q)=acos²q+bsin²q+2acosq,其中a≠b≠0,q∈[0,π]则关于q的方程¦(q)=0的解有(　 )个　 A 0　 　　B　 1 　　　C 2　　　　　　 D 无数个

解、¦(q)=(a-b)cos²q+2acosq+b=(a-b)t²+2at+b　 (-1≤t≤1)则¦(-1)·¦(1)=-3a²<0又△>0从而选(B)；★[※题5]在三角形ABC中,若·+·+·=-6

①若∠C为直角,求c边的长；②若三角形的周长等于6,试判断三角形ABC的形状

解、①利用余弦定理，则有c=;②可判断出△ABC为正三角形

★[※题6]函数¦(x)=Asin(ωx-)(A>0,ω>0)的图象经过点(π,2)，且其单调递增区间的最大长度是2π，求出其单调递减区间。(解、A=4，周期为4π，则有ω=，从而¦(x)=4sin(x-)，则单调递减区间为[+4kπ, +4kπ] (k∈z)

★[※题7]已知向量=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),=(2,1),①若∥,求sin2x的值;②设函数¦(x)=·,△ABC的三边a,b,c满足b²=ac,且¦(B)=1,试判断△ABC的形状

解、①∥则tanx=2，则sin2x=　　　　 ②¦(x)= +sin(2x+),由¦(B)=1则B=。又由余弦定理有a=c,从而为正三角形

★[※题8]已知=(,),=-,=+,若△AOB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则向量=_____,△AOB面积为_____

解、⊥且||=||,则旋转90°画图知=(,)或(，)，△AOB面积是1

★[※题9]若把函数的图象沿向量a=(-，-2)平移后，得函数y=cosx的图象，则原函数的解析式为( A )A y=cos(x-)+2　 B y=cos(x+)+2　 C y=cos(x-)-2　　 D y=cos(x+)-2

★[※题10]设向量=(cosx,sinx),=(sinx,-sinx),①求函数¦(x)=log_a(·+) (a>0且a ≠1)的单调递增区间； ②若·=，且x∈(0,),求满足sin(x-q)-sin(x+q)+sin2x=的最小正角q。(解、¦(x)= log_a(sin2x+)则①当a>1时，↗为(kπ-,kπ+);

②0<a<1时，↗为(kπ+,kπ+)　 ③最小正角q=

三角变形的主要的公式有：①a±b的正弦、余弦、正切；②sin2a，cos2a,tan2a,③sin²a,cos²a,④asinq+bcosq

★例1、辅助角公式的应用：①sinx±cosx　　 ②sinx±cosx　 ③ sinx± cosx　 ④sinx±cosx　　 ⑤3sinq±3cosq

★例2 化简：1-sin²2a-sin²(a-)-cos⁴a (为(sin2a-cos2a)

★例3 ①cos113°cos23°+sin113°cos67°

　　　　 ②　　 ③　

(答案：①cos90°=0,②tan30=,③2-)

★题4、(2006·广东·15题·14分)已知函数¦(x)=sinx+sin(x+),x∈R,

①　　 求¦(x)的最小正周期； ②求¦(x)的最大值和最小值； ③若¦(a)=3/4，求sin2a之值。(答案：①2π，②±；③

★题5、(2006·陕西·17题·12分)已知已知函数¦(x)=sin(2x-)+2sin²(x-),(x∈R),① 求¦(x)的最小正周期； ②求使¦(x)取得最大值的x的集合；

答案：①π；②所求x的集合为：{x|kπ+,k∈Z}

★题6、(2006·湖北·16题·12分)设向量=(sinx,cosx),=(cosx,cosx),x∈R,函数¦(x)=·(+),① 求函数¦(x)的的最大值和最小正周期； ②求使不等式¦(x)≥成立的x的取值范围的集合

答案 ；最大值为+，最小正周期为π，所求x的集合为：{x|kπ-≤x≤kπ+,k∈Z}

★题7、(2006·湖南·16题·12分)如图，D是直角三角形△ABC斜边BC上的一点，且AB=AD，记∠CAD=a，∠ABC=b，

①　　 证明sina+cos2b=0; ②若AC=DC，求b的值。

(答案：b=)

★题8、(2006·江西·19题·12分)在锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知sinA=2/3，①求tan²()+sin²()的值；②若a=2,S_△ABC=，求b的值。(答案：①，②b=)

★题9、(2006·浙江·16题·14分)如图，函数y=2sin(πx+j),(x∈R)(其中0≤j≤)的图象与y轴交于点(0，1)；①求j的值；②设P为图象上的最高点，M，N是图象与x轴的交点，求与的夹角。(答案：j=；夹角为arccos)

★　　 例1：化简： ①··　　 (答案：sinq)

②化简：sin(a-)+cos(a+)　　 (答案：0)

③已知π<a<2π，cos(a-9π)=,求cot(a-)的值　 (答案：原式=-tana=4/3)

★1、函数y= + + +的值域为(B)：

A{-2，4　 }B {-2，0，4} C {-2，0，2，4}D {-4，-2，0，4}

★2、设函数¦(x)=asin(πx+a)+bcos(πx+b),其中a,b,a,b均为非0实数，且有¦(2003)=1，求¦(2004)之值　 (答案：-1)

★3、已知sina是方程5x²-7x-6=0的一个根，求之值

解；sina=,则所求为-tan²a=

★4、①求sincosπtan(-)之值　 (答案：)

※②已知tan(5π+a)=m,则之值为多少？(答案)

★5、(2006·湖南省·文科·16题·12分)已知sinq - ·cosq=1,q∈(0,π),求q之值

解：化简得sinq -2sin²q=0,则sinq=0(舍去)或，则q=或

★　　 6、(2006·天津·文科·17题·12分)已知tana+cota=5/2,a∈(,)求cos2a和sin(2a+)之值。(答案：∵tana=2, cos2a=和sin(2a+)=)

★　　 7、(2006·安徽·文科·17题·12分)已知a为锐角，且sina=,求①之值；②求tan(a-)的值。(答案 ：①20；②)

★　　 8、已知sin(kπ+q)=-2cos(kπ+q)(k∈Z),求下列各式：①5cos²q+3sinqcosq;②;③tanq(cosq-sinq)+

解：①； ②10；　 ③sinq=±

5、向量要注意选择几何、字符、坐标运算形式，力求简化运算过程；要将坐标运算与基底运算灵活

加以应用；向量的数量积是解决有关平行、垂直、夹角、模、投影等问题的重要工具；利用||²=·

=²可以实现数量积与模的相互转化。

　　　 [※题1]①已知=(1,1)与+2的方向相同,则·的取值范围是_______(答案:(-1,+∞))

②已知非零向量与满足(+)·=0,且·=,则△ABC为(D　 )

A钝角△　　　 B Rt△　　 C 等腰非等边△　　 D　 等边△

③已知=(3,1),=(-1,2),若⊥,且∥,则=________(答案:(14,7))

④已知向量=(1,-2),=(1,l),若与的夹角为锐角,则实数l的取值范围是_____(答案:(-∞,-2)∪(-2,))

　　　 [※题2]设函数¦(x)= ·,其中向量=(2cosx,1),=(cosx,sin2x),①当¦(x)=1-,且x∈[-,],求x； ②若函数y=2sin2x的图象按向量=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=¦(x)的图象，求实数m,n之值。

解:①¦(x)=2sin(2x+)+1,则x=-；②m= , n=1

★[※题3]①已知tan(a-π)=,则(2sina+cosa)cosa的值为(　 A　 )

A 　　 B 　　 C 1　　 D 0

②已知a、b∈(，π)，sin(a+b)=,sin(b-)=,则cos(a+)=__________(答案：)

③已知¦(x)=2tanx-,则是¦()的值为(　 )

A 4　　　　 B 　 C 4　　　　 D　 8　 (解、¦(x)=,则所求为8)

★[※题4]①设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若a,b,c成等比数列，且c=2a,则cosB=( B )

A 　　　B　 　 　　　C 　 　　　D

②已知某正弦函数y=Asin(ωx+j)的部分图象如图示，则¦(x)的解析式为________(答案:y= y=-4sin(x+)

③函数y=sin(2x-)的图象是由函数y=cos2x的图象经过下列哪种平移变换而得到的(　 D ) A 向左平移个单位　 B向右平移个单位　 C向左平移个单位　 D向右平移个单位

★[※题5]①设点P是函数¦(x)=sinωx的图象C的一个对称中心,若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是,则¦(x)的最小正周期是_______(答案:π)

②已知函数¦(x)=sin (r>0)的图象上的一个最大值点和一个最小值点都在圆x²+y²=r²上,则¦(x)的最小正周期是______(答案:4)

③已知函数y=sin(ωx+j)(ω>0,0<j<π)是偶函数,其图象关于点M(,0)对称,且在[0,]上是单调函数,求ω和j的值.(答案:j=;ω=2或)

★[※题6]已知函数¦(x)= sinωxcosωx-cos²ωx+(ω≠0)的最小正周期是π,且图象关于直线x= 对称,①求出ω之值; ②若当x∈[0,]时,|a+¦(x)|<4恒成立,求实数a的取值范围.

解、①¦(x)= -sin(2x+)+1；②|a+¦(x)|<4恒成立Þ[-4-¦(x)]_max<a<[4-¦(x)]_min

则a∈(-4，)

★[※题7]①把函数y=cosx-sinx的图象向左平移m个单位之后，所得图象关于y轴对称，则m的最小值是( C )A 　　B 　　C 　　　D

②若¦(x)= asin(x+)+3sin(x-)是偶函数，则a=______(答案:-3)

③把曲线C:y=sin(-x)cos(x+)向右平移a(a>0)个单位,得到曲线C′,若曲线C′关于点(,0)对称,则a的最小值是_____(答案:)

★[※题8]受日月引力,海水会发生涨落,这种现象叫做潮汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋.某港口水的深度y(米)是时间t(0≤t≤24,单位:时)的函数,记作y=¦(t),下面是该港口在某季节每天水深的数据:

经过长期观察, y=¦(t)曲线可以近似地看作函数y=Asinωt+k的图象

①根据以上数据,求出函数y=¦(t)的近似表达式; ②一般情况下,船舶航行时,船底离海底的距离为5m或5m以上时,认为是安全的(船舶停靠时,船底只要不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5m,如果该船想在同一天内安全进出港口,问它至多能在港内停留多长的时间(忽略进出港口所需时间)

解:①y=3sint+10;　 ②y=3sint+10≥5+6.5,则1≤t≤5或13≤t≤17,则最多可停留16个小时.

　　　 [※题9]设△ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,

(Ⅰ)给出下列两个条件:➊a,b,c成等差数列; ➋a,b,c成等比数列;

(Ⅱ)给出下列三个结论:①0<B≤;②a·cos²()+c·cos²()=;③1<≤

请你选择给定的两个条件中的一个做为条件,给定的三个结论中的两个做为结论,组建一个你认为正确的命题,并给出证明.

解:(1)可组建四个正确的命题:➊Þ①②;➊Þ①③；➊Þ②③；➋Þ①③

(2)y= = sin(B+)且0<B≤，则1<y≤