开放型问题是相对于中学课本中有明确条件和结论的封闭型问题而言的．这类问题的知识覆盖面大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度．集合中的开放型问题问题大多是结论不定性开放型问题．

例3　 设集合A = {(x，y)|y－x－1= 0 }，集合B ={(x，y)| 4x+2x－2y+5 = 0 }，集合C ={(x，y)| y = kx+b }，是否存在k，bN，使得？若存在，请求出k，b的值；若不存在，请说明理由．

解：因为，即，所以且．

将y = kx+b代入y－x－1= 0，得kx+(2kb－1)x+b－1= 0，

因为，所以△= (2kb－1)－4k( b－1)＜0，即4k－4kb+1＜0，若此不等式有解，应有16b－16＞0，即b＞1．①

又将y = kx+b代入4x+2x－2y+5 = 0，得：4x+(2－2k)x+(5－2b) = 0，

因为，所以△= (2－2k)－4k(5－2b)＜0，即k－2k+8b－19＜0，若此不等式有解，应有4－4(8b－19)＞0，解得b＜．②

由不等式①、②及bN，得b = 2．

将b = 2代入由△＜0和△＜0组成的不等式组，得，再注意到kN，求得k = 1．

故存在自然数k = 1，b = 2使得．

评析：在数学命题中，常以适合某种性质的结论“存在(肯定型)”、“不存在(否定型)”、“是否存在(讨论型)”等形式出现．“存在”就是有适合某种条件或符合某种性质的对象，对于这类问题无论用什么方法只要找出一个，就说明存在．“不存在”就是无论用什么方法都找不出一个适合某种已知条件或性质的对象，这类问题一般需要推理论证．“是否存在”结论有两种：一种是可能或存在；另一种是不存在，则需要说明理由．

解答集合问题时常常遇到这样的情况：解题过程中，解到某一步时，不能再以统一的方法、统一的形式继续进行，因为这时被研究的数学对象已包含了多种可能的情形，必须选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题一一加以解决，从而使问题得到解决，这就是分类讨论的思想方法．

例2　 设集合A = {x | x+4x = 0，xR}，B = {x | x+2(a+1)x+a－1= 0，aR，xR }，若，求实数a的取值范围。

分析：BA可分为B =，BA，B = A三种情况讨论。

解：∵A = {0，－4}，∴BA分以下三种情况：

⑴当B = A时，B= {0，－4}，由此知：0和－4是方程x+2(a+1)x+a－1= 0的两个根，由根与系数之间的关系，得：

a = 1。

⑵当BA时，又可分为：

①B =时，△= 4(a+1)－4(a－1)＜0，解得a＜－1；

②B≠时，B = {0}或B = {－4}，并且△= 4(a+1)－4(a－1) = 0，解得a=－1，此时B = {0}满足题意。

综合⑴、⑵知，所求实数a的值为a≤－1或a = 1。

评析：解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决。对于含参数的计划问题，常需要对参数分类讨论。在分类时要注意“不重不漏”。由于空集是任何非空集合的真子集，空集必是非空集合的真子集，因此，B =φ时也满足BA．所以BA中就应考虑B =与B≠两种情况，就是说，正是空集引法的分类讨论．

在解集合问题时，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先转化为另一种形式．比如：将= B或将= A转化为，将转化为，将转化为等．

例1　 　已知M ={(x，y)| y = x+a}，N ={(x，y)| x+y= 2}，求使得=成立的实数a的取值范围。

解：=等价于方程组无解。

把y = x+a代入方程x+y= 2中，消去y，得关于x的一元二次方程2x+2ax+a－2= 0。①

问题又转化为一元二次方程①无实根，即△= (2a)－4×2×(a－2)＜0，由此解得a＞2或a＜－2。

故所求实数a的取值范围是{a | a＞2或a＜－2。

评析：在理解集合符号的基础上，准确地将集合语言转化为初中已学过的数学问题，然后用所学的知识和方法把问题解决．这种转化可以把抽象知识用简洁、准确的数学语言表达出来，提高解题效率．

例1　下列命题正确的有哪几个？

　⑴很小的实数可以构成集合；⑵集合{1，5}与集合{5，1}是不同的集合；⑶集合{(1，5)}与集合{(5，1)}是同一个集合；⑷由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合有5个元素．

分析：这类题目主要考查对集合概念的理解，解决这类问题的关键是以集合中元素的确定性、互异性、无序性为标准作出判断．

解：⑴“很小”是一个模糊概念，没有明确的标准，故我们很难确定某一个对象是否在其中，不符合集合元素的确定性，因此，“很小的实数”不能构成集合，故⑴错．

　⑵{1，5}是由两个数1，5组成的集合，根据集合元素的无序性，它与{5，1}是同一个集合，故⑵错．

　⑶{(1，5)}是由一个点(1，5)组成的单元素集合，由于(1，5)与(5，1)表示两个不同的点，所以{(1，5)}和{(5，1)}是不同的两个集合，故⑶错．

　⑷＝，∣－∣＝0.5，因此，由1，，，∣－∣，0.5 这些数组成的集合为{1，，0.5}，共有3个元素．因此，⑷也错．

例2　已知集合A＝{，+，+2}，B＝{，，}，其中，A＝B，求的值．

分析：本题最常见的错误是认为这两个集合的对应项相同，列出相应的关系式，然后求出的值，这显然违背了集合的无序性．

解：∵A＝B，及集合元素的无序性　，∴有以下两种情形：

　①　

　消去，解得＝1，此时＝＝，与集合中元素的互异性矛盾，∴1．

　②

　　消去，解得＝－，或＝1(舍去)，故的值为－．

评注：本题中，利用集合元素的无序性和两集合相等时的元素特征，得出两个方程组，打开了解题的大门，求出值后，又利用了集合元素的互异性进行检验，保证了所求的结果的准确性．

例3　设A＝{x∣+(b+2)x+b+1＝0，bR}，求A中所有元素之和．

错解：由+(b+2)x+b+1＝0得　(x+1)(x+b+1)＝0

　(1)当b＝0时，x₁ ＝x₂－1，此时A中的元素之和为－2．

　(2)当b0时，x₁ +x₂＝－b－2．

分析　上述解法错在(1)上，当b＝0时，方程有二重根－1，集合A＝{－1}，故元素之和为－1，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．

　 例4　已知集合 {2，3,+4+2}，　 B＝{0,7, +4-2,2-}，且AB={3,7},求值．

　分析： ∵　 AB={3,7}　　 ∴　 +4+2=7．　 即 =1，或=－5．

至此不少学生认为大功告成，事实上，这只求出了集合A，集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步检查．当=－5时,2－=7， 在B中重复出现,这与元素的互异性相矛盾，故应舍去=－5．当=1时, B={0,7,3,1} 且AB={3,7}　　

∴　 =1　

评注：集合元素的确定性，互异性，无序性在解题中有重要的指导作用，忽视这一点差之毫厘则失之千里．

一个大于0.

3．无序性：由于集合中元素是确定且是互异的，元素完全相同的集合是相等的集合，因此，集合中的元素与顺序无关．

2．互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的(或说是互异的)，即同一个集合中的任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入任一个集合时，只能作为这个集合的一个元素．

1．确定性：即对任意给定的对象，相对于某个集合来说，要么属于这个集合，要么

不属于这个集合，二者必居其一，关键是理解“确定”的含义．

知识点1.集合与元素

一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。

知识点2.区分、{}与{}

是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见{}，{}，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。

知识点3.解集合问题的关键

解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。

5.集合的表示方法

⑴列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。

⑵特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。

例如：集合可以用它的特征性质描述为{}，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。　　　　　

除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法(有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素)，同学们在下节课中会接触到这个内容。

4.集合的分类

集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，记作。