5．在△ABC中，,若使绕直线旋转一周，

则所形成的几何体的体积是(　　 )

A. 　　　　B. 　　　C. 　　　　　D.

4．正方体的内切球和外接球的半径之比为(　 　)

A．　 B．　　 C． D．

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是，且它的个顶点都在

同一球面上，则这个球的表面积是(　　 )　

A．　　 B．　 C．　　 D．都不对

2．棱长都是的三棱锥的表面积为(　　 )

A. 　　　B. 　　C. 　　　D.

1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个(　　 )

A.棱台　　　　 B.棱锥　　　　　 C.棱柱　　　　 D.都不对

5、抽象向具体转化

例7 A、B、C是球O面上三点，弧AB、AC、BC的度数分别是90°、90°、60°。求球O夹在二面角B－AO－C间部分的体积。

分析：此题难点在于空间想象，即较抽象。教师　　　 引导学生读题：条件即∠AOB＝∠AOC＝90°，∠BOC＝60°，然后给出图形(如图8)，则可想象此题意即为用刀沿60°二面角，以直径为棱将一个西瓜切下一块，求这一块西瓜的体积，(答：)。问题于是变得直观具体多了。

例8 三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，求此直线与另外一条直线所成的角。

分析：由条件想象到长方体的三条棱也两两垂直，于是问题可以转化为如下问题：长方体一条对角线与同一顶点上的三条棱所成的角分别是60°、60°、α，求α的大小。

根据长方体的性质，有cosα+cos60°+cos60°＝1，可求得α＝45°。

立体几何的教学，关键是要调动学生的学习兴趣，让他们学会联想与转化。立体几何的许多定理、结论源自生活实际，源自平面几何，要教会学生联想实际模型，联想平面几何中已经熟悉的东西，借助可取之材来建立空间想象，加强直观教学，这样就容易让学生接受，让他们喜欢上这一门学科，从而更有效地培养他们的空间想象力，提高他们解决立体几何问题的能力。

4、等积转化

“等积法”在初中平面几何中就已经有所应用，是一种很实用的数学方法与技巧。立体几何中的“等积转化”(或称等积变换)是以面积、体积(尤其是四面体的体积)作为媒介，来沟通有关元素之间的联系，从而使问题得到解决。

例6 如图7，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱长为a的正方体，E、F分别为棱AA₁与CC₁的中点，求四棱锥A₁－EBFD₁的体积。

略解：易证四边形EBFD₁是菱形，

连结A₁C₁、EC₁、AC₁、AD₁，

则V_A1-EBFD1=2V_A-EFD=2V_{F- A1ED1}=2V_{C1- A1ED1}

=2V_{E- A1C1D1}=V_A-A1C1D1=V_正方体AC1＝a³。

3、割补转化

“割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。

例5 如图5，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA＝BC＝n,

PA与BC的公垂线ED＝h，

求证：三棱锥P－ABC的体积V＝n²h.

此题证法很多，下面用割补法证明如下：

分析一：如图5，连结AD、PD，∵BC⊥DE，BC⊥AB，　　　

∴BC⊥平面APD，又DE⊥AP，

∴V_P－ABC＝V_B－APD+V_C－APD＝BC·S_⊿APD＝　 。　

分析二：如图6，以三棱锥P－ABC的底面为底面，侧棱PA为侧棱，补成三棱拄 PB1C1－ABC，连结EC、EB，则易证AP⊥平面EBC，　

∴V_三棱拄＝AP·S_⊿EBC＝ n²h。

∴V_P－ABC = V_三棱拄 = 。

2、降维转化

由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要数学方法之一。降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一个平面中去，用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。如线面垂直的判定定理的证明就是转化为三角形全等的平面问题。

分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。

又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两相交直线成的角来进行的。

例4 如图-4直四棱柱中，，底面ABCD是直角梯形，∠A是直角，AB||CD，AB=4，AD=2，DC=1，求异面直线与DC所成角的大小.(结果用反三角函数值表示)

解：由题意AB//CD，

是异面直线BC₁与DC所成的角.

连结AC₁与AC，在Rt△ADC中，可得，

又在Rt△ACC₁中，可得AC₁=3.

在梯形ABCD中，过C作CH//AD交AB于H，

又在中，可得，

在

∴异而直线BC₁与DC所成角的大小为。

实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。

1、　　　　　 位置关系的转化

线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是平行与垂直位置关系的相互依存及转化，平行与垂直问题不但能横向转化，而且可以纵向转化。

例1 已知三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，侧棱SA⊥底面ABC，点A在棱SB和SC上的射影分别是点E、F。求证EF⊥SC。

　 分析：∵A、E、F三点不共线，AF⊥SC，

∴要证EF⊥SC，只要证SC⊥平面AEF，

只要证SC⊥AE(如图1)。

又∵BC⊥AB，BC⊥SA，∴BC⊥平面SAB，

∴SB是SC在平面SAB上的射影。

∴只要证AE⊥SB(已知)，∴EF⊥SC。

例2 设矩形ABCD，E、F分别为AB、CD的中点，以EF为棱将矩形

折成二面角A－EF－C₁(如图－2)。求证：平面AB₁E∥平面C₁DF。

分析一(纵向转化)：

∵AE∥DF，AE平面C₁DF，

∴ AE∥平面C₁DF.同理，B₁E∥平面C₁DF，

又AE∩B₁E＝E，∴平面AB₁E∥平面C₁DF。

分析二(横向转化)：

∵AE∥EF，B₁E⊥EF，且AE∩B₁E＝E，∴EF⊥平面C₁DF。

同理，EF⊥平面C₁DF 。平面AB1E∥平面C₁DF。