1. 所有与角终边相同的角, 连同角在内, 可构成的一个集合S是　

　 A. {|=+k·180⁰，k∈Z}　　 　　　B. {|=+k·360⁰, k∈Z}[来

C. {|=+k·180⁰，k∈R}　　 　　　D. {|=+k·360⁰, k∈R}

3．三角恒等式的证明

证明三角恒等式的过程，实际上是化异为同的过程，即化去形式上的异，而呈现实质上的同，这个过程，往往是从化简开始的--这就是说，在证明三角恒等式时，我们可以从最复杂处开始．

例5　 求证 cosα(2secα+tgα)(secα-2tgα)=2cosα-3tgα．

分析　 从复杂的左边开始证得右边．

=2cosα-3tgα=右边

例6　 证明恒等式

(1)1+3sin²αsec⁴α+tg⁶α=sec⁶α

(2)(sinA+ secA)³+(cosA+cscA)²=(1+secAcscA)²

分析　 (1)的左、右两边均较复杂，所以可以从左、右两边同时化简

证明　 (1)右边-左边=sec⁶α-tg⁶α-3sin²αsec⁴α-1

=(sec²α-tg²α)(sec⁴α+sec²α·tg²α+tg²α)-3sin²αsec⁴α-1

=(sec⁴α-2sec²αtg²α+tg²α)-1

=(sec²α-tg²α)²-1=0

∴等式成立．

=sin²A+cos²A=1故原式成立

在解题时，要全面地理解“繁”与“简”的关系．实际上，将不同的角化为同角，以减少角的数目，将不同的函数名称，化为同名函数，以减少函数的种类，都是化繁为简，以上两点在三角变换中有着广泛的应用．

分析1　 从右端向左端变形，将“切”化为“弦”，以减少函数的种类．

分析2　 由1+2sinxcosx立即想到(sinx+cosx)²，进而可以约分，达到化简的目的．

说明　 (1)当题目中涉及多种名称的函数时，常常将切、割化为弦(如解法1)，或将弦化为切(如解法2)以减少函数的种类．

(2)要熟悉公式的各种变形，以便迅速地找到解题的突破口，请看下列．

=secα+tgα

∴等式成立

说明　 以上证明中采用了“1的代换”的技巧，即将1用sec²α-tg²α代换，可是解题者怎么会想到这种代换的呢？很可能，解题者在采用这种代换时，已经预见到代换后，分子可以因式分解，可以约分，而所有这一切都是建立在熟悉公式的各种变形的基础上的，当然，对不熟练的解题者而言，还有如下的“一般证法”--即证明“左边-右边=0”

∴左边=右边

2．三角函数式的化简

三角函数式的化简的结果应满足下述要求：

(1)函数种类尽可能地少．

(2)次数尽可能地低．

(3)项数尽可能地少．

(4)尽可能地不含分母．

(5)尽可能地将根号中的因式移到根号外面来．

化简的总思路是：尽可能地化为同类函数再化简．

例3　 化简sin²α·tgα+cos²α·ctgα+2sinαcosα

=secα·cscα

解2　 原式=(sin²α·tgα+sinα·cosα)+(cos²α·ctgα+sinαcosα)

=tgα·(sin²α+cos²α)+ctgα(sin²α+cos²α)

=tgα+ctgα

=secα·cscα

说明　 (1)在解1中，将正切、余切化为正弦、余弦再化简，仍然是循着减少函数种类的思路进行的．

(2)解2中的逆用公式将sinα·cosα用tgα表示，较为灵活，解1与解2相比，思路更自然，因而更实用．

例4　 化简：

分析　 将被开方式配成完全平方式，脱去根号，进行化简．

1．已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值．

解　 ∵sinα＜0

∴角α在第三或第四象限(不可能在y轴的负半轴上)

(2)若α在第四象限，则

说明　 在解决此类问题时，要注意：

(1)尽可能地确定α所在的象限，以便确定三角函数值的符号．

(2)尽可能地避免使用平方关系(在一般情况下只要使用一次)．

(3)必要时进行讨论．

例2　 已知sinα=m(|m|≤1)，求tgα的值．

(2)当m=±1时，α的终边在y轴上，tgα无意义．

(3)当α在Ⅰ、Ⅳ象限时，∵cosα＞0．

当α在第Ⅱ、Ⅲ象限时，∵cosα＜0，

说明　 (1)在对角的范围进行讨论时，不可遗漏终边在坐标轴上的情况．

(2)本题在进行讨论时，为什么以cosα的符号作为分类的标准，而不按sinα的符号(即m的符号)来分类讨论呢？你能找到这里的原因并概括出所用的技巧吗？

B、C、D，应选A．

[说明]　 此例题用多种方法求解选项，指出3种选择题的技巧．

∴应选D

x轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最

的图象．

∴选D

[说明]　 y=Asin(ωx+j)(A＞0，ω＞0)x∈R的图象可由y=sinx的图象经下列各种顺序变换得到的．

(1)先平移，后伸缩：

①把y=sinx的图象向左(j＞0)或向右(j＜0)沿x轴方向平移|j|个单位；(相位变换)

(周期变换)

③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍，横坐标不变(振幅变换)

(2)先伸缩，后平移

①把y=sinx图象上各点的横坐标缩短(ω＞1)或伸长(0＜ω＜1)到原

(相位变换)

③把所有各点纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A倍横坐标不变(振幅变换)

再把横坐标缩小到原来的一半，纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是　　 [　　 ]

∴选A．

[例17]　 方程sin2x=sinx在区间(0，2π)内解的个数是

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [　　 ]

A．1　　　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　　　　　 D．4

[分析]　 本题有两类解法

(1)求出方程在(0，2π)内的所有解，再数其解的个数．而决定选项，对于选择题，此法一般不用．

(2)在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象，如图2-18所示．

它们在(0，2π)内交点个数，即为所求方程解的个数，从而应选C．

它体现了数、形的结合．

[例18]　 设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2，则f(5)=____

解：∵f(x)是奇函数，且f(1)=2，∴f(-1)=-2

又∵f(x)是周期为3的函数．　 ∴f(3+x)=f(x)

∴f(-1+3)=f(-1)=-2　 即f(2)=-2

f(2+3)=f(2)=-2　 即f(5)=-2

[例19]　 有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都在扇形的半径或弧上，求这个内接矩形的最大面积．

[分析]　 本题入手要解决好两个问题．

(1)内接矩形的放置有两种情况，如图2-19所示，应该分别予以处理．

(2)求最大值问题这里应构造函数，怎么选择便于以此表达矩形面积的自变量．

解：如图2-19(1)设∠FOA=θ，则FG＝Rsinθ

又设矩形EFGH的面积为S，那么

又∵0°＜θ＜60°，故当cos(2θ－60°)＝1，即θ=30′时，

如图2-19 (2)，设∠FOA＝θ，则EF＝2Rsin(30°-θ)，在△OFG中，∠OGF＝150°

设矩形的面积为S．

那么S＝EFFG＝4R²sinθsin(30°-θ)

＝2R²［cos(2θ-30°)－cos30°]

又∵0＜θ＜30°，故当cos(2θ-30°)＝1

作出三角函数线，如图2-17

MP=sinθ，OM=cosθ，BS=ctgθ

通过观察和度量得MP＜OM＜BS

从而有sinθ＜cosθ＜ctgθ

∴应选A

∴cosθ＞sinθ

从而可剔除B、D．

再由sinθ＜ctgθ，故可剔除C

故选A

故选A．

19. (本小题满分6分)如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，交AC于F，过F作FG//AB交AE于G，求证： .

系中的位置如图所示，四个顶点的坐标分别为O(0，0)，

A(10，0)，B(8，)，C(0，)，点T在线段OA上(不与线段端点重合)，将纸片折叠，使点A落在射线AB上(记为点A′)，折痕经过点T，折痕TP与射线AB交于点P，设点T的横坐标为t，折叠后纸片重叠部分(图中的阴影部分)的面积为S；

(1)求∠OAB的度数，并求当点A′在线段AB上时，S关于t的函数关系式；

(2)当纸片重叠部分的图形是四边形时，求t的取值范围；

(3)S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值，并求此时t的值；若不存在，请说明理由。

18．(本小题满分8分)已知函数y＝－x²－2x+5，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值和最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量x的值：

(1)x≤－2；(2)x≤2；(3)－2≤x≤1；(4)0≤x≤3．

17.(本小题满分6分)解方程组