题目列表(包括答案和解析)
当x>5时,原不等式可化为
x-5-(2x+3)<1,
解之得x>-9,所以x>5.
说明:在含有绝对值的不等式中,“去绝对值”是基本策略.
例13 解不等式|2x-1|>|2x-3|.
分析 本题也可采取前一题的方法:采取用零点分区间讨论去掉绝
之,则更显得流畅,简捷.
解 原不等式同解于
(2x-1)2>(2x-3)2,
即4x2-4x+1>4x2-12x+9,
即8x>8,得x>1.
所以原不等式的解集为{x|x>1}.
说明:本题中,如果把2x当作数轴上的动坐标,则|2x-1|>|2x-3|表示2x到1的距离大于2x到3的距离,则2x应当在2的右边,从而2x>2即x>1.
2.2 函数·例题解析</PGN0062A.TXT/PGN>
[例1]判断下列各式,哪个能确定y是x的函数?为什么?
(1)x2+y=1
(2)x+y2=1
解 (1)由x2+y=1得y=1-x2,它能确定y是x的函数.
于任意的x∈{x|x≤1},其函数值不是唯一的.
[例2]下列各组式是否表示同一个函数,为什么?
解 (1)中两式的定义域部是R,对应法则相同,故两式为相同函数.
(2)、(3)中两式子的定义域不同,故两式表示的是不同函数.
(4)中两式的定义域都是-1≤x≤1,对应法则也相同,故两式子是相同函数.</PGN0062B.TXT/PGN>
[例3]求下列函数的定义域:
[例4]已知函数f(x)的定义域是[0,1],求下列函数的定义域:
求实数a的取值范围.
为所求a的取值范围.
[例6]求下列函数的值域:
(1)y=-5x2+1
(3)y=x2-5x+6,x∈[-1,1)
(4)y=x2-5x+6,x∈[-1,3]
(9)y=|x-2|-|x+1|
解 (1)∵x∈R,∴-5x2+1≤1,值域y≤1.
(6)定义域为R
(7)解:定义域x≠1且x≠2
(y-4)x2-3(y-4)x+(2y-5)=0 ①
当y-4≠0时,∵方程①有实根,∴Δ≥0,
即9(y-4)2-4(y-4)(2y-5)≥0
化简得y2-20y+64≥0,得
y<4或y≥16
当y=4时,①式不成立.
故值域为y<4或y≥16.
函数y在t≥0时为增函数(见图2.2-3).
(9)解:去掉绝对值符号,</PGN0065B.TXT/PGN>
其图像如图2.2-4所示.
由图2.2-4可得值域y∈[-3,3].
说明 求函数值域的方法:
1°观察法:常利用非负数:平方数、算术根、绝对值等.(如例1,2)
2°求二次函数在指定区间的值域(最值)问题,常用配方,借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理.假如求函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),在给定区间[m,n]的值域(或最值),分三种情况考虑:
(如例5)可做公式用.
法求y的范围(如例6-7).
为二次函数求值域.但要注意中间量t的范围(如例6-8).
6°分离有界变量法:从已知函数式中把有界变量解出来.利用有界变量的范围,求函数y的值域(如例6-6).
7°图像法(如例6-9):
由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻,它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解.
解 (2)∵f(-7)=10,∴f[f(-7)]=f(10)=100.
说明 本例较简单,但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义.求分段函数值时,要注意在定义域内进行.
[例8]根据已知条件,求函数表达式.
(1)已知f(x)=3x2-1,求①f(x-1),②f(x2).
(2)已知f(x)=3x2+1,g(x)=2x-1,求f[g(x)].
求f(x).
(4)已知f(x)是二次函数且f(0)=2,f(x+1)-f(x)=x-1,求f(x).
(5)设周长为a(a>0)的等腰三角形,其腰长为x,底边长为y,试将y表示为x的函数,并求它的定义域和值域.
(1)分析:本题相当于x=x-1时的函数值,用代入法可求得函数表达式.
解 ∵f(x)=3x2-1
∴f(x-1)=3(x-1)2-1=3x2-6x+2
f(x2)=3(x2)2-1=3x4-1
(2)分析:函数f[g(x)]表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式,∴仍用代入法求解.
解 由已知得f[g(x)]=3(2x-1)2+1=12x2-12x+4
法(或观察法).
∴x=(t+1)2代入原式有f(t)=(t+1)2-6(t+1)-7
=t2-4t-12 (t≥-1)
即f(x)=x2-4x-12 (x≥-1)
说明 解法二是用的换元法.注意两种方法都涉及到中间量的问题,必须要确定中间量的范围,要熟练掌握换元法.
(4)分析:本题已给出函数的基本特征,即二次函数,可采用待定系数法求解.
解 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)
由f(0)=2,得c=2.由f(x+1)-f(x)=x-1,得恒等式2ax+
说明 待定系数是重要的数学方法,应熟练掌握.
(5)解:∵2x+y=a,∴y=a-2x为所求函数式.
∵三角形任意两边之和大于第三边,
∴得2x+2x>a,又∵y>0,
说明 求实际问题函数表达式,重点是分析实际问题中数量关系并建立函数解析式,其定义域与值域,要考虑实际问题的意义.
2.3.1 函数的单调性·例题解析
[例1]求下列函数的增区间与减区间
(1)y=|x2+2x-3|
解 (1)令f(x)=x2+2x-3=(x+1)2-4.
先作出f(x)的图像,保留其在x轴及x轴上方部分,把它在x轴下方的图像翻到x轴就得到y=|x2+2x-3|的图像,如图2.3-1所示.
由图像易得:
递增区间是[-3,-1],[1,+∞)
递减区间是(-∞,-3],[-1,1]
(2)分析:先去掉绝对值号,把函数式化简后再考虑求单调区间.
解 当x-1≥0且x-1≠1时,得x≥1且x≠2,则函数y=-x.
当x-1<0且x-1≠-1时,得x<1且x≠0时,则函数y=x-2.</PGN0071B.TXT/PGN>
∴增区间是(-∞,0)和(0,1)
减区间是[1,2)和(2,+∞)
(3)解:由-x2-2x+3≥0,得-3≤x≤1.
令u==g(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4.在x∈[-3,-1]上是在x∈[-1,1]上是.
∴函数y的增区间是[-3,-1],减区间是[-1,1].
[例2]函数f(x)=ax2-(3a-1)x+a2在[-1,+∞]上是增函数,求实数a的取值范围.
解 当a=0时,f(x)=x在区间[1,+∞)上是增函数.
若a<0时,无解.
∴a的取值范围是0≤a≤1.
[例3]已知二次函数y=f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x=3的抛物线,试比较大小:
(1)f(6)与f(4)
解 (1)∵y=f(x)的图像开口向下,且对称轴是x=3,∴x≥3时,f(x)为减函数,又6>4>3,∴f(6)<f(4)
时为减函数.
解 任取两个值x1、x2∈(-1,1),且x1<x2.
当a>0时,f(x)在(-1,1)上是减函数.
当a<0时,f(x)在(-1,1)上是增函数.
[例5]利用函数单调性定义证明函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上是减函数.
证 取任意两个值x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2.
又∵x1-x2<0,∴f(x2)<f(x1)
故f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
得f(x)在(-∞,+∞)上是减函数.
解 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),任取定义域内两个值x1、x2,且x1<x2.
∴当0<x1<x2≤1或-1≤x1<x2<0时,有x1x2-1<0,x1x2>0,f(x1)>f(x2)
∴f(x)在(0,1],[-1,0)上为减函数.
当1≤x1<x2或x1<x2≤-1时,有x1x2-1>0,x1x2>0,f(x1)>f(x2),∴f(x)在(-∞,-1],[1,+∞)上为增函数.
根据上面讨论的单调区间的结果,又x>0时,f(x)min=f(1)=2,当x<0时,f(x)max=f(-1)=-2.由上述的单调区间及最值可大致
说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小.
2°注意对参数的讨论(如例4).
3°在证明函数的单调性时,要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等.(如例5)
4°例6是分层讨论,要逐步培养.
22、(本小题满分12分)
(1) 判断函数f(x)=在上的单调性并证明你的结论?
(2)猜想函数在上的单调性?(只需写出结论,不用证明)
(3)利用题(2)的结论,求使不等式在上恒成立时的实数m的取值范围?
淮阳中学2010-2011年度(上)高一第二次月考
21、(本小题满分12分)已知函数,。
(1)若函数在区间上存在零点,求实数a的取值范围;
(2)当时,若对任意的,总存在,使成立,求实数 的取值范围。
20、(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市。通过市场调查,得到西红柿种植成本Q(单位:元/102kg)与上市时间t(单位;天)的数据关系如下表:
时间t |
50 |
110 |
250 |
种植成本Q |
150 |
108 |
150 |
(1)根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系。
(2)利用你选取的函数,求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本。
w.w.^w.k.&s.5*高.考.资.源.网
19、(本小题满分12分)已知函数为定义在R上的奇函数,当时,,求在R上的解析式,并判断函数的零点的个数。
w.w.^w.k.&s.5*高.考.资.源.网
18、(本小题满分12分)设为实数,函数,。
(1)若函数是偶函数,试求实数的值;
(2)在(1)条件下,写出函数的单调区间(不要求证明);
(3)王平同学认为:无论取任何实数,函数都不可能为奇函数。你同意他的观点吗?请说明理由。
17、(本小题满分10分)
已知函数的定义域为集合A,集合B,C。
(1)求集合A和;
(2)若,求实数的取值范围
w.w.^w.k.&s.5*高.考.资.源.网
16、若直线与函数的图象有两个公共点,则实数的取值范围为 。
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