9．(10分)已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)+f(3－2x)．

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)若f(x)是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．

[解析]　(1)由题意可知

所以.解得<x<.

故函数g(x)的定义域为.

(2)由f(x)是奇函数可得f(－x)＝－f(x)．

因为g(x)≤0，所以f(x－1)+f(3－2x)≤0，

即f(x－1)≤－f(3－2x)，

所以f(x－1)≤f(2x－3)．

又因为f(x)在定义域内单调递减，

所以x－1≥2x－3，解得x≤2.

由(1)可知函数g(x)的定义域为，

所以不等式g(x)≤0的解集为.

8．已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)+g(x)＝x²－x+2，求f(x)，g(x)的解析式．

[解析]　∵f(x)是奇函数，g(x)是偶函数

∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)

又∵f(x)+g(x)＝x²－x+2①

∴f(－x)+g(－x)＝(－x)²－(－x)+2

∴－f(x)+g(x)＝x²+x+2②

由①②得：f(x)＝－x，g(x)＝x²+2

7．已知f(x)＝(a－1)x²+2ax+3是定义在R上的偶函数，求证：函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．

[证明]　由f(x)是定义在R上的偶函数，

可知f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，

所以(a－1)(－x)²+2a(－x)+3＝(a－1)x²+2ax+3，

即4ax＝0对于x∈R恒成立，

所以a＝0，故f(x)＝－x²+3.任取x₁<x₂<0，则有f(x₁)－f(x₂)＝(－x₁²+3)－(－x₂²+3)＝(x₂－x₁)(x₂+x₁)．

因为x₁<x₂<0，

所以x₂－x₁>0，x₂+x₁<0，

所以f(x₁)－f(x₂)<0，即f(x₁)<f(x₂)．

所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递增．

6．设f(x)为定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝－2x²+3x+1，则函数f(x)的解析式为________．

[解析]　(1)设x<0，则－x>0，因为f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－[－2(－x)²+3(－x)+1]

＝2x²+3x－1.

当x＝0时，f(x)＝0.

所以f(x)＝

[答案]　f(x)＝

5．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x²+1，则f(－3)＝________.

[解析]　∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(－3)＝－f(3)＝－(3²+1)＝－10.

[答案]　－10

4．下列说法中错误的个数为(　)

①图象关于坐标原点对称的函数是奇函数；

②图象关于y轴对称的函数是偶函数；

③奇函数的图象一定过坐标原点；

④偶函数的图象一定与y轴相交．

A．4　 B．3

C．2　 D．0

[解析]　①、②由奇、偶函数的性质知正确；

对于③，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，它是奇函数，但它的图象不过原点；

对于④，如f(x)＝，x∈(－∞，0)∪(0，+∞)，它是偶函数，但它的图象不与y轴相交．故选C.

[答案]　C

3．函数f(x)＝ax，a＞0，则必有(　)

A．f(a)＜f(－a)　　 　　　B．f(a)+f(－a)＝0

C．f(a)＞f(－a) 　　　　D．f(a)＝f(a+1)

[解析]　显然f(x)＝ax，a＞0为奇函数，

所以f(－a)＝－f(a)．故选B.

[答案]　B

2．若函数f(x)在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f(3)<f(1)，则(　)

A．f(－1)<f(－3)　 B．f(0)>f(－1)

C．f(－1)<f(1)　 D．f(－3)>f(－5)

[解析]　函数f(x)在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f(3)<f(1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数．

由已知条件及奇函数性质知函数f(x)在区间[－5,5]上是减函数．

在选项A中，－3<－1，故f(－3)>f(－1)，选项A正确．

在选项B中，0>－1，故f(0)<f(－1)，选项B错．

同理选项C、D也错．故选A.

[答案]　A

1．已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－3)<f(－1)，则下列不等式一定成立的是(　)

A．f(－1)<f(3)　 B．f(2)<f(3)

C．f(－3)<f(5)　 D．f(0)>f(1)

[解析]　函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，因此f(x)＝f(－x)，于是f(－3)＝f(3)，f(－1)＝f(1)，则f(3)<f(1)．

又f(x)在[0,5]上是单调函数，从而函数f(x)在[0,5]上是减函数，观察四个选项，并注意到f(x)＝f(－x)，易得只有D正确．

[答案]　D

9．(10分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)＝

－f(x)，求f(8)的值．

[解析]　∵f(x+2)＝－f(x)．

∴f(8)＝－f(6)＝－f(4+2)＝f(4)＝f(2+2)

＝－f(2)＝－f(0+2)＝f(0)．

∵f(x)是定义在R上的奇函数，

∴f(0)＝0，∴f(8)＝0.