3．已知P为椭圆上第三象限内一点，且它与两焦点的连线互相垂直，若点P到直线4x－3y－2m+1=0的距离不大于3，则实数m的取值范围是(　 )

　 (A)[－7, 8]　 (B)[－, ]　 (C)[－2, 2]　 (D)(－∞,－7]∪[8, +∞)

2．若圆x²+y²=r²(r>0)上恰有相异的两点到直线4x－3y+25=0的距离等于1，则r的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　(　 )

　 (A)[4, 6]　 　(B)[4, 6)　 　(C)(4, 6] 　　(D)(4, 6)

1．点P在直线2x+y+10=0上，PA, PB与圆x²+y²=4分别相切于A, B两点，则四边形PAOB面积的最小值为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (　 )

　 (A)24 　　(B)16　 　(C)8　 　(D)4

21.　 (本小题满分14分)

　 解: (1) ∵ e ==1,　 ∴ 曲线是抛物线

　　 　又∵F ( 1 , 0 ), 准线 x = – 1,　 ∴ 抛物线顶点在原点　 p = 1– (– 1) = 2

　　 　∴ 所求的曲线方程为 y ² = 4x　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

　　 (2)当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意,

　　 ∴ k ¹ 0由y = k ( x – 4 )得

　　 x = +4 代入y ² = 4 x 整理得: y ² –y – 16 = 0

　 　设A (x ₁ , y ₁ ), B ( x ₂ , y ₂ ) 则y ₁ + y ₂ = ,　 y ₁y ₂ = – 16

　 ∵A、B在y ² = 4x上, ∴A (, y ₁ ), B (, y ₂ )

　 (或由y = k(x – 4)代入得k²x²– 4(2k² +1)x + 16k² = 0, ∴x₁x₂ = 16 ).

　　 ∴ k_OA·k_OB ==== – 1， ∴ OA^OB.　　　　　 5分

　　 (3) 设直线与x轴交于E, 则 E ( 4 , 0 )　 ∴|OE| = 4

　　 S_△OAB =|OE|(| y ₁| + | y ₂| ) =´4| y ₁ – y ₂| =2=2=2

　　 解得k = ± 4 .　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

22 附加题: (本题满分5分, 但全卷总分不超过100分) 　　

解：∵ a ³ 0 , b ³ 0, c ³ 0 , a + b + c = 1, x = – a +2b + 4c, y = 2a + 6b +c ,

　　 ∴ a = 1 – b – c ³ 0 ,

∴ x = –1 + 3b + 5c,　 y = 2 + 4b – c , ,

　　 ∴ ( x , y ) = ( – 1,2 ) + b ( 3, 4 ) + c(5, – 1) 且b ³ 0 , c ³ 0, 1 ³ b + c,　

∴ ( x, y )表示由( 3, 4 ), ( 5, – 1)和( – 1,2 ) 所围的三角形区域(如右图所示).

　 ∴ R 的面积为 .　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　3分

　∴x² + y²的最小值即为原点到直线x + 5y – 9 = 0的距离的平方, 为.

　 　而x = 2, y = 6时，2x + y 取最大值为10 .　　　　　　　　　　　　　　　　 2分

20. (本小题满分10分)

解1 设 f ( x ) = x ² + kx – k + 1.　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　2分

要使0 £ x < 1时f ( x ) 恒为正，只需

或或　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 4分

解得：0 < k < 1或–2 £ k £ 0或k < –2.

综上 k < 1. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

解2设 y = x², 　y – 1 = – k ( x – 1 ), 　　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

　 作抛物线y = x²及过定点P (1, –1)的直线y + 1 = – k ( x　 1 ),

　 当0 £ x < 1时不等式恒成立等价于当0 £ x < 1时抛物线图象恒在直线上方　

　 由k_OA = –1，∴– k > –1，　　　　　　　　　　　　　　　 　　　

解得k < 1.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

解3 化成k < ,

∵当 0 £ x < 1时，右边单调递增，

∵x = 0时，右边取最小值1， ∴k < 1.

19. (本小题满分10分)

　解： ∵l ₁是∠B的平分线, ∴直线AB与BC关于l ₁:对称 , 　　　　　　

　∴点A关于l ₁的对称点A₁在直线BC上, 　　　　　　　　　　　　　　

同理, 点A关于l ₂的对称点A₂ 也在直线BC上, 　　　　　　　　　　　3分

由对称定义求得A₁( –1 , 2 ), A₂( 3 , 0 ) ，　　　　　　　　　　　　　　　 6分

∴直线BC的方程为x + 2y – 3 = 0　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1分

18．(本小题满分10分)

解： 设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为 m， 又设水池总造价为y元， 则

y = 150´+ 120(6x +6´) 　　　　　　　　　　　　　　　　　4分

= 240000 + 720(x + ) ³ 297600　　 　　　　　　　　　　　　　　3分

当x = 40时， y_min = 297600元.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 2分　　

　　 答 当水池的底面是边长为40 m的正方形时, 水池的总造价最低为297600元　　 1分

13.<　 　14. 8　　 15.=1　　 　16. x + y –2 = 0　　 17．(1) (4)(5)　　

21.　 (本小题满分14分)

在O为原点的直角坐标系中，已知圆锥曲线的一个焦点为F ( 1 , 0 ), 对应这个焦点的准线方程为 x = – 1 , 且这条曲线经过点M ( 3 , 2).

(1)求此圆锥曲线的方程;

(2)已知圆锥曲线与直线 y = k (x – 4)相交于A、B两点, 求证: OA^OB;

(3) 当△OAB的面积等于2时, 求k的值.

22 附加题: (本题满分5分, 但全卷总分不超过100分)

已知a ³ 0 , b ³ 0, c ³ 0 , a + b + c =1, x = – a +2b + 4c, y = 2a + 6b + c , 设点( x , y )所在的区域为R.

(1) 求区域R 的面积;　　　　　　　　　　　　　　　　

(2) 设( x, y )为区域为R上的任意点;

1) 求x ² + y ² 的最小值；

2) 求2x + y 的最大值.

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20. (本小题满分10分)

当0 £ x < 1时不等式x ² + kx > k – 1恒成立, 试求实数k的取值范围.