4. 在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地，两地经度差为90°，则甲、乙两地最短距离为(设地球半径为)(　 )

.　　　 　　　. 　　　　　　　.　　　　 　　.

3. 集合中元素个数为(　 )

.2个　　　　 　　　.3个　　　 　　　　.4个　　　　 　　.5个

2. 展开式中，二项式系数最大的项是(　 )

　　　 .第n-1项　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 .第n项　　　

　　　 .第n-1项与第n+1项　 　　　　 　　　　　.第n项与第n+1项

1. 将四名教师分配到三个班级去参加活动，要求每班至少一名的分配方法有(　 )

.72种　　　 　　　　.48种　　　 　　　　.36种　　 　　　　.24种

20.(本小题满分10分)　

已知双曲线的焦点在x轴上，两渐近线方程为，点A、B在双曲线上，且关于直线　　　 x+y+2＝0对称，|AB|＝.

(Ⅰ)求线段AB的中点C的坐标；

(Ⅱ)求这双曲线的方程；

(Ⅲ)过点(0，1)作直线l与双曲线的左、右两支分别相交于P、Q两点，点M(0，－1)为定点，试推断是否存在直线l，使？若存在，求直线l的方程；若不存在，说明理由.

[解](Ⅰ)设双曲线方程为3x²－y²＝λ(λ＞0)，点A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，C(x₀，y₀)，则

，即3(x₁－x₂)(x₁+x₂)＝(y₁－y₂)(y₁+y₂).　　 (1分)

　 因为点A、B关于直线x+y+2＝0对称，所以，即.

　 又C为AB的中点，所以x₁+x₂＝2x₀，y₁+y₂＝2y₀. 于是有3x₀＝y₀.　　　　　　　　 (2分)

　 因为点C在直线x+y+2＝0上，所以x₀+y₀+2＝0.

于是4 x₀+2＝0，即，从而，故点.　　　　　　　　 (3分)

　(Ⅱ)因为|AB|＝，所以|AC|＝，于是，即x₁＝1.　 (4分)

　 又，即，所以.　　　　 (5分)

因为点A(1，0)在双曲线上，所以λ＝3x₁²－y₁²＝3.故双曲线方程是.　　 (6分)

(Ⅲ)设直线l的方程为y＝kx+1，代入双曲线方程，得，

即 .　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

　 设点P(x₃，y₃)，Q(x₄，y₄)，则，. (8分)

　 因为，.

　所以

.　　 (9分)

因为P、Q分别为双曲线左、右两支上的点，则.

所以.故不存在直线l，使.　　　　　　 (10分)

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19.(本小题满分8分)

　　 如图，在直三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，AB＝AC＝AA₁＝1，∠BAC＝90°，试用向量方法解决下列问题.

(Ⅰ)求点C₁到平面AB₁C的距离；

(Ⅱ)求二面角A₁－B₁C－A的大小.

[解](Ⅰ)因为AA₁⊥平面ABC， AB⊥AC，分别以AB，

AC，AA₁为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系. 　　　　　　　　　　　　　　　　　(1分)

　 因为AB＝AC＝AA₁＝1，则点C(0，1，0)，B₁(1，0，1)，

C₁(0，1，1)，所以＝(1，0，1)，＝(0，1，0).　　　　　　　　　　　 　　　　(2分)

设＝(x，y，z)为平面AB₁C的法向量，则

，即. 取x＝1，则＝(1，0，－1). 　　　　　　　　　　　　(3分)

　　 又＝(0，0，－1)，故点C₁到平面AB₁C的距离.　 (4分)

(Ⅱ)因为点A₁(0，0，1)，所以＝(0，－1，1)，＝(1，－1，1). 　　　　　　　(5分)

设＝(x，y，z)为平面A₁B₁C的法向量，则

，即.取z＝1，则＝(0，1，1). 　　　　　　　　　　　(6分)

因为＝(1，0，－1)，则，

所以.　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(7分)

由图知，二面角A₁－B₁C－A的平面角为锐角，故二面角A₁－B₁C－A的大小为60°.　　 (8分)

18.(本小题满分8分)

　　 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，点P为椭圆上一点.若椭圆的离心率为，且△PF₁F₂的周长为16.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程；

(Ⅱ)过椭圆左顶点作直线l，若动点M到椭圆右焦点的距离

比它到直线l的距离小4，求点M的轨迹方程.

[解](Ⅰ)设椭圆的半长轴长为a，半短轴长为b，半焦距为c，

则|PF₁|+|PF₂|＝2a，|F₁F₂|＝2c.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

因为△PF₁F₂的周长为16，即|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|＝16，所以2a+2c＝16，即a+c＝8.(2分)

　 又，即a＝3c，从而4c＝8，所以c＝2，a＝6，b²＝a²－c²＝36－4＝32.　　　　　 (3分)

　 因为椭圆的焦点在x轴上，故椭圆的标准方程是.　　　　　　　　　　　 (4分)

(Ⅱ)法一：因为a＝6，所以直线l的方程为x＝－6，又c＝2，所以右焦点为F₂(2，0). 　(5分)

过点M作直线l的垂线，垂足为H，由题设，|MF₂|＝|MH|－4.

　 设点M(x，y)，则.　　　　　　　　　　　　 (6分)

两边平方，得，即y²＝8x.　　　　　　　　　　　　　　　　 (7分)

故点M的轨迹方程是y²＝8x.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (8分)

　 法二：因为a＝6，c＝2，所以a－c＝4，从而椭圆左焦点F₁到直线l的距离为4. 　　　　(5分)

由题设，动点M到椭圆右焦点的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以点M的轨迹是以右焦点为F₂(2，0)为焦点，直线x＝－2为准线的抛物线.　　　　　　　　　　 　　　　　　　　(7分)

显然抛物线的顶点在坐标原点，且p＝|F₁F₂|＝4，故点M的轨迹方程是y²＝8x.　　　　 (8分)

17.(本小题满分8分)

　 在空间直角坐标系中，已知三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).

(Ⅰ)求〈〉的大小；

(Ⅱ)设直线AB与坐标平面xOy的交点为D，求C，D两点间的距离.

[解](Ⅰ)由已知，得(－2，－1，3)，(－1，3，－2).　　　　　　　　　 (1分)

　 则2―3―6＝－7. .　　　　　　　　　　　　　　　　 (2分)

　 所以cos〈〉＝.　　　　　　　　　　　　 (3分)

　 故〈〉＝120°.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (4分)

(Ⅱ)设点D(x，y，0)，则(x，y－2，－3).　　　　　　　　　　　　　　　　　 (5分)

　 因为向量与共线，设，则(x，y－2，－3)＝λ(－2，－1，3). 　　　(6分)

　 于是，所以点D(2，3，0). 　　　　　　　　　　　　　　　(7分)

　 故，即C，D两点间的距离是.　　 (8分)

16.(本小题满分6分)

　 　已知含有量词的两个命题p和q，其中命题p：任何实数的平方都大于零；命题q：二元一次方程2x+y＝3有整数解.

(Ⅰ)用符号“”与“”分别表示命题p和q；

(Ⅱ)判断命题“(﹁p)∧q”的真假，并说明理由.

[解](Ⅰ)命题p：x∈R，x²＞0；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (1分)

命题q：x₀∈Z且y₀∈Z，2x₀+y₀＝3.　　　　　　　　　　　　　　　　　 (3分)

(Ⅱ)因为当x＝0时，x²＝0，所以命题p为假命题，从而命题﹁p为真命题. 　　　　　　(4分)

　　　 因为当x₀＝2，y₀＝－1时，2x₀+y₀＝3，所以命题q为真命题.　　　　　　　　　　 (5分)

　　　 故命题“(﹁p)∧q”是真命题.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (6分)

15.已知动点M分别与两定点A(1，0)，B(－1，0)的连线的斜率之积为定值m(m≠0)，若点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆(除去点A、B)，则m的取值范围是(－1，0)；若点M的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A、B)，则m的值为　 3　 .