如图，已知直线（）与抛物线：和圆：都相切，是的焦点．

（Ⅰ）求与的值；

（Ⅱ）设是上的一动点，以为切点作抛物线的切线，直线交轴于点，以、为邻边作平行四边形，证明：点在一条定直线上；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记点所在的定直线为，    直线与轴交点为，连接交抛物线于、两点，求△的面积的取值范围．

【解析】第一问中利用圆： 的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．  

即，解得（舍去）

设与抛物线的相切点为，又，得，．     

代入直线方程得：，∴    所以，

第二问中，由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点．   ………………（2分）

设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．   

令，得切线交轴的点坐标为    所以，，    ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形

∴ 因为是定点，所以点在定直线

第三问中，设直线，代入得结合韦达定理得到。

解：（Ⅰ）由已知，圆： 的圆心为，半径．由题设圆心到直线的距离．  

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

设与抛物线的相切点为，又，得，．     

代入直线方程得：，∴    所以，．      ……（2分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知抛物线方程为，焦点．   ………………（2分）

设，由（Ⅰ）知以为切点的切线的方程为．   

令，得切线交轴的点坐标为    所以，，    ∵四边形FAMB是以FA、FB为邻边作平行四边形，

∴ 因为是定点，所以点在定直线上．…（2分）

（Ⅲ）设直线，代入得，  ……）得，                 ……………………………     （2分）

，

．△的面积范围是

 

解：（Ⅰ）设：，其半焦距为．则：．

　　　由条件知，得．

　　　的右准线方程为，即．

　　　的准线方程为．

　　　由条件知，　所以，故，．

　　　从而：，   ：．

（Ⅱ）由题设知：，设，，，．

　　　由，得，所以．

　　　而，由条件，得．

　　　由（Ⅰ）得，．从而，：，即．

　　　由，得．所以，．

　　　故．

设函数f（x）=在[1，+∞上为增函数.  

（1）求正实数a的取值范围；

（2）比较的大小，说明理由；

（3）求证：（n∈N*, n≥2）

【解析】第一问中，利用

解:（1）由已知：，依题意得：≥0对x∈[1，+∞恒成立

∴ax－1≥0对x∈[1，+∞恒成立    ∴a－1≥0即：a≥1

（2）∵a=1   ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞)上为增函数，

∴n≥2时：f（）=

  

 (3)  ∵   ∴

 

设函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间；

（2）记曲线在点（其中）处的切线为，与轴、轴所围成的三角形面积为，求的最大值.

【解析】第一问利用由已知，所以，

由，得， 所以，在区间上，，函数在区间上单调递减； 在区间上，，函数在区间上单调递增；

第二问中，因为，所以曲线在点处切线为：.

切线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为，所以，  

， 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，

解：（Ⅰ）由已知，所以， 由，得，  所以，在区间上，，函数在区间上单调递减； 

在区间上，，函数在区间上单调递增；  

即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.

（Ⅱ）因为，所以曲线在点处切线为：.

切线与轴的交点为，与轴的交点为，

因为，所以，  

， 在区间上，函数单调递增，在区间上，函数单调递减.所以，当时，有最大值，此时，

所以，的最大值为

 

如图是单位圆上的点，分别是圆与轴的两交点，为正三角形.

（1）若点坐标为，求的值；

（2）若，四边形的周长为，试将表示成的函数，并求出的最大值.

【解析】第一问利用设 

∵  A点坐标为∴   ，

（2）中 由条件知  AB=1，CD=2 ，

在中，由余弦定理得 

  ∴ 

∵       ∴    ，

∴  当时，即 当 时 ， y有最大值5. .